素数的个数是有限的吗

在自然数中，2、3、5、7……这些数，它们只能被1和自身整除，这种数叫做素数。4、6、8、9……这些数，它们除1和自身以外，还能被其他的数整除，这种数叫做合数。1既不是素数，又不是合数。

在自然数列中，究竟哪些是素数呢？公元前三百多年，希腊学者埃拉多斯染尼（Eratasthenes），提出了一种方法，他在一张纸上写上自然数列的数字，把它贴在一个柜子上，然后把其中的合数一个一个地挖去，得到一个有许多小孔的象筛子一样的东西，所有的合数，都好象被筛子筛去了一样，而把素数留了下来，得到了一张表，这张表叫做“埃拉多斯染尼筛子”。

埃拉多斯染尼是怎样筛法呢？例如，他造一张1到50的素数表，首先写上1到50的这50个自然数，然后先划去1，把2留下。再划去其他所有2的倍数，把3留下。再划去其他所有3的倍数，把5留下。又划去其他所有5的倍数……，以此类推，可以得到50以内的所有素数。这就是著名的“筛法”。

我们也可以按这个方法，在纸上写出1～100自然数，把素数筛出来。

按照埃拉多斯染尼的筛法，会不会划到最后都是合数呢？也就是素数的个数到底是不是有限的呢？公元前约275年，希腊著名的数学家欧几里德（Euclid）用巧妙的方法证明了素数的个数是无限的。

欧几里德是运用反证法来证明的。他首先假定素数的个数是有限的，并列出所有的素数2、3、5、7……p，其中最大的是p，然后构成一个数2·3·5·7……·p+1，显然它大于p，其中2·3·5·7……·p能被任何素数整除，而数1被任何素数除所得的余数为1。因此，2·3·5·7……·p+1被任何素数除所得的余数为1，即它不能被2、3、5、7……p中任何一个整除，也就是它要被大于p的素数整除，这就与假定相矛盾。因此，素数的个数是无限的。

这是数论中的一个重要定理。数论是数学的一个重要分支，它主要研究数的性质，其中有着许多奇妙的猜想和有趣的问题，有些至今还未得到最后解决。例如哥德巴赫猜想就是著名的一个。