什么叫映射

我们可以从一些实例中来理解。譬如，我们要查一些日子是星期几。

1979年的元旦是星期几呢？一查日历，是星期一。再查五一节呢？是星期二。七月一日呢？是星期日。十月一日呢？又是星期一。

这里，从数学观点来说，有两个集合。第一个集合A是1979年的日子。一共有365天，也可以说有365个元素。第二个集合B是一个星期的日子，从星期一到星期日，一共有七个元素。

在这里，集合A里的任意一个元素，即1979年的任意一天，都可以找到集合B里的一个确定的元素，即星期几，可以用图形来表示。

从集合A的元素去找到集合B的一个对应的元素的过程，如果是符合下列两个条件的：

（1）对于集合A的任意一个元素，都可以找到集合B一个相应的元素；

（2）对于集合A的任意一个元素，都只能找到集合B的一个相应的元素。

那么，从集合A的元素去找集合B的元素的过程，就叫做集合A的元素到集合B的元素的一种映射。集合B的那个对应的元素，叫做集合A的那个原来的元素的象。如一月一日的映射的象是星期一。

我们不妨再举一个数的集合的例子：如果在自然数集内的任一个元素a，乘上2，那么，就可以找，到在自然数集合里的另一个元素而且只能找到一个这样的元素。

这里，集合A到集合B的映射，1的映射的象是2，2的映射的象是4……

这两个例子里，我们可以看出，在集合A到集合B的映射，条件是集合A的所有的元素都要能在集合B内找到唯一的象。从第一个例子里可以看出集合A的不同的元素可以得到不同的象，也可以得到相同的象。从第二个例子里，可以看到集合B里的元素也可以包含并非是集合A的任意元素的象的，如集合B是自然数集，但其中有1，3，5，7……等等，却并不是集合A里的某一元素的象。

从两个例子里，我们还可以看出，两个集合的元素可以是有限个的，如第一个例子，一年的日子是365个，一星期的日子是7个，都是有限的，而且元素数并不相等。然而，两个集合的元素也可以是无限的，如第二个例子，集合A和集合B都是自然数的集合，它们的元素个数都是无限多的。例二从集合A到集合B的映射是可以写出法则来的，那就是乘以2。

还有一种复合映射，就是从第一个集合到第二个集合，又从第二个集合到第三个集合的映射，也可以看例子:

从集合X到集合Y是一次映射，从集合Y到集合Z是又一次映射，经过二次映射，可以说是从集合X到集合2的复合映射。

在电子计算机里，实际上就是通过几次的复合映射，可以按照我们预先制订的计算程序，来迅速地自动地求得一些复杂计算的结果。