A×B是否一定等于B×A

在社会生产实践和科学研究中，常常要处理一些有关联性的数据，比如实验数据、统计数据、财务数据等。为了清楚地展示这些数据，通常人们会将其制作成表格。下表显示的是某商业连锁公司各门店的销量统计表。

为了统一处理这种表格形式的数据，数学家会抛开它们所描述的具体对象，仅仅将其中的数据抽象出来排成行列。这种将$n\times m$个数排成$n$行$m$列的矩形阵列被称为一个$n\times m$阵，通常用一对括号将矩阵括起来，矩阵中的每一个数称为这个矩阵的元素。上表中所对应的就是一个2×3矩阵 $\begin{pmatrix} 80 & 25 & 120 \\ 45 & 30 & 85 \end{pmatrix}$。

19世纪中叶，英国数学家凯莱系统地建立了矩阵理论，规定了矩阵的算术运算。矩阵的加法比较简单，两个矩阵有相同的行数和列数，则它们的和就是对应位置的元素相加所得到的矩阵，例如，两个2×2矩阵相加为： $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}$$

而矩阵乘法的规定有些奇怪：两个矩阵相乘，要求前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数相等，而其积在第i行、第j列的元素等于第一个矩阵的第i行和第二个矩阵第j列对应位置的元素相乘再求和所得的数。例如，两个2×2矩阵的乘积为： $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$

一些初学矩阵的人不太理解矩阵乘法，为什么矩阵乘法规定得如此古怪，而不是像加法一样对应位置元素相乘呢？

其实，这样定义矩阵乘法更符合实际需要。以上述商业公司的数据为例，假设某门店销售商品A计80件，每件商品单价为20元，则计算该门店销售商品A的营业额要用乘法，为80×20=1600元。现在考虑该公司多个门店以及销售多个商品的情况。除前面的销量表外，如果还有如下商品单价和单位利润表：

量子加密模型

则各门店的营业额和营业利润是：

门店1：营业额=80×20+25×100+120×15=5900，

利润=80×5+25×20+120×4=1380；

门店2：营业额=45×20+30×100+85×15=5175，

利润=45×5+30×20+85×4=1165。

即有如下营业额和利润表：

上述这三个表的关系，即为矩阵乘法

$$\begin{pmatrix} 80 & 25 & 120 \\ 45 & 30 & 85 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 20 & 5 \\ 100 & 20 \\ 15 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5900 & 1380 \\ 5157 & 1165 \end{pmatrix}$$

这样定义矩阵乘法的另一个更重要的因素是数学中的线性变换。假设有如下变量之间的关系 $$\begin{cases} z_1 = -y_1 + 2y_2 \\ z_2 = 2y_1 + y_2 ^{\quad\cdots\ \cdots①} \end{cases}\ \begin{cases} y_1 = 3x_1 + 2x_2 \\ y_2 = x_1 - 2x_2 ^{\quad\cdots\ \cdots②} \end{cases}$$

将②式代入①式，我们有

$$\begin{cases} z_1 = -x_1 - 6x_2 \\ z_2 = 7x_1 + 2x_2 ^{\quad\cdots\ \cdots③} \end{cases}$$

则③式系数矩阵和①、②式系数矩阵之间的关系满足 $$\begin{pmatrix} -1 & -6 \\ 7 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ 在这里，我们又看见了矩阵乘法。可见，这样规定矩阵乘法既是实际计算的需要，也是数学理论的需要，是十分自然的。

矩阵乘法还有一个比较奇怪的性质。众所周知，两个数a与b相乘，总有a×b=b×a，这就是乘法交换律。但对于矩阵乘法，若以A,B表示两个矩阵，通常A×B与B×A并不相等。以上述系数矩阵为例， $$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ 7 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$

这就是说，矩阵乘法的计算结果与相乘的两个矩阵的前后次序是有关的。这与通常我们所见到的乘法运算大相径庭。

人们对熟知的乘法交换律已经认为是理所当然，以至于对矩阵乘法不可交换的性质心存疑惑。然而，这种不可交换的矩阵乘法，在量子力学的创建中找到了用武之地。20世纪20年代，基于经典力学的旧量子论已经走到了末路，客观上需要新的理论来取代。1925年夏，时年24岁的德国物理学家海森伯以其天才的创造力构建了一套全新的量子理论。然而，他的新理论却必须借助一种奇怪的乘法，这种乘法的结果取决于相乘的次序，即$A \times B - B \times A$未必是0，这一点困扰着海森伯。海森伯将其论文交给了他的导师玻恩，玻恩想起了曾经学过的矩阵乘法。原来，海森伯用到的乘法正是矩阵乘法。当时，尽管矩阵乘法对数学家来说已经毫不奇怪，但对于大多数物理学家来说还是个新鲜事。后来，人们将海森伯的理论称为矩阵力学，这是量子力学的重要组成部分。海森伯因其在创建量子力学理论中的重要贡献，于1932年获得了诺贝尔物理学奖。

德国物理学家海森伯