1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 +⋯到底等于多少

讨论这个问题之前，我们需要对调和级数有个简单了解。$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$称为调和级数，这个级数中的通项是$\frac{1}{n}$，显然，随着$n$的无限增大，$\frac{1}{n}$会无限制地减小。调和级数究竟是无限大，还是等于一个固定的正数呢？这并非一个一目了然的问题。

14世纪法国学者奥雷姆巧妙地证明了$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$是无穷大。到了17世纪，瑞士数学家约翰·伯努利给出了一个新的证明，此证明就发表在其兄雅各布·伯努利的著作中。

接着，他们进一步说明$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots<2$，但却无力求出$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$的确切值。

雅各布·伯努利不无遗憾地说：“如果有人能够发现并告知我们迄今为止这一尚未解决的难题的答案，我们将不胜感谢。”

后来，解决这个问题的人终于出现了，他正是18世纪最伟大的数学家欧拉。

为了求得这一值，欧拉先后对此式计算到小数点后第七位及第十二位，但这算的是近似值，1735年，欧拉考察了一个与正弦有关的函数并将其展开形式结合“韦达定理”，最终求得 $$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}.$$

由于这项成就，欧拉一下子出了名。其实，这个问题最早是1644年意大利数学家门戈利提出的。现在这个问题被称为“巴塞尔问题”，巴塞尔是伯努利家族和欧拉的故乡。欧拉的证明方法不太严格，不久以后，严格的证明找到了，特别是利用傅里叶级数理论可以很容易地进行证明。

利用极限的观点（可以先计算不大于某个自然数k的任两个自然数互素的概率，然后令k趋向于无穷），很容易证明，任意两个自然数互素的概率为 $$\cfrac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots},$$ 于是由上述欧拉证明的结果，我们知道它就是$\frac{6}{\pi^2}$！