纵横图有什么用场

传说，我国远在夏禹治水时（公元前二十三世纪），在洛水里浮出来一只大乌龟，背上有一个九种花纹的图，后来的人们把这个图称为“洛书”，并且被有些人附会到了封建迷信方面上去。实际上，用近代的符号来表示，就是从1到9的九个连续自然数排成九格三行的图。我们不妨试验一下，把任一横行、任一纵列及两条对角线上的三个数加起来，就会发现它们都等于15。而且，图里的九个数又恰好是从1到9的九个连续自然数，既不重复，又没有遗漏。可见，这种排列方法确实是非常奥妙的。后来的研究家们又进一步发现，具有这种奇妙性质的图形不仅限于洛书。于是把从1到的连续自然数所排成的方阵而具有类似性质的，统称为纵横图”，西方称为“幻方”。所以洛书就是一种3阶纵横图，也是最简单的一种纵横图，没有再比它阶数更小的纵横图了。

看上去如此简单的3阶纵横图，却有一些极不寻常的性质。例如，有名的“团体赛奇论”就和它分不开。

大家知道，围棋是一种古老而精深的棋艺，一般把棋手定为九段，在一般情况下，段位低的棋手是敌不过段位高的棋手的，这就是所谓“棋高一着，缚手缚脚”。

假如有三个围棋队，每队都有三位棋手。甲队棋手的实力是四段、九段、二段；乙队棋手的实力是三段、五段、七段；丙队棋手的实力是八段、初段、六段。把这三个队九位棋手的段位排成一个方阵，可以看到它的情况和洛书是完全一样的。

如果比赛时采用循环赛，一个队的每名棋手与另一个队的三名棋手都要进行一番较量。那么，按照这种比赛规则，两个队比赛时，就得赛九场才能定出胜负。现在看一看甲队与乙队的比赛情况，从图上可知，甲队可胜四场，乙队可胜五场，乙队的实力强于甲队。根据同样的道理，可知丙队比乙队强。按照数学中的不等量公理，既然乙＞甲、丙＞乙，当然丙＞甲，这好象是毫无疑问的了。可是，如果按照形式逻辑来推理，有时往往导致错误的结论。现在，我们参照前面的“洛书”来分析一下，就不难看到：在丙队与甲队比赛时，丙队只能胜四场，而甲队则能胜五场，所以甲队要比丙队强。综合起来看，竟是乙比甲强，丙比乙强，而甲比丙强，好象推磨一样，不等量公理竟然不适用了。

最早见于记载的四阶纵横图，是在印度卡俱拉霍地方发现的一个十一世纪的碑文上。它是一个极不平凡的四阶纵横图，有着十分玄妙的性质。除了具有纵横图的通性外，在“折断了的对角线”上所有四个数字（即图中相同符号的四个数）之和也全部等于四阶纵横图常数34。而在通常的纵横图中，仅仅只有两条主对角线（即四方形的两对角）上各个数字之和才能等于纵横图常数[n阶纵横图的常数是×(n²+1)]。由此可见，只有在这种奇异的纵横图中，对角线的地位才真正和行、列的地位完全平等，因此，它被称为“泛对角线纵横图”。

纵横图看来是个小玩意，可是历来都有人研究它。大数学家欧拉和汉弥尔登、大发明家富兰克林都对它有过深入的研究。

电子计算机的发展又给它赋予了新的意义，目前它在组合分析、图论、人工智能等各方面都有所应用。美国计算机协会主编的CACM程序汇编中也把纵横图的编造程序收了进去。建筑学家勃拉东发现纵横图的对称性极为丰富，其中有许多美丽的图案，他把这些线条称为“魔线”，可用于轻工业品、封面包装等设计中。

加拿大滑铁卢大学的一位专家发现了它与“拉丁方”的内在联系，由于“拉丁方”在实验设计领域中的无比重要性，从此，纵横图就更加引起了人们的重视。国外新出版的《现代代数及其应用》这本专门著作里，破天荒地把这个从前认为“雕虫小技”的东西列为专门题材。