一对初生的兔子在一年内能繁殖多少对

中世纪西欧经济开始繁荣，西方商人到东方来经商的逐渐地多起来，他们学习了东方文化，其中有一个意大利的数学家斐波那契（Fibonacci)，在东方旅行后写出了一本《算法之书》，在这里提出了一对兔子的繁殖问题，这就是“斐波那契数”的来历。

问题是这样的：“如果每一对兔子每月能生一对新兔，而每一对新兔在出生后的第三个月里开始生一对新兔，假定在不发生死亡情况之下，一对初生的兔子在一年末能繁殖成多少对？”

现在先列表计算如下：

在二月份里，这对兔子生了一对小兔，总共是2对；在三月份里，仍然只有原来的一对能生小兔，所以总共是3对；在四月份里，因为二月份出生的兔子会生小兔子，因此，这个月生了2对小兔，总共就有5对了；在五月份里，又增加了三月份出生的兔子生小兔，这一个月就能生3对，所以总共有8对；依同样的方法算出各个月份兔子的总数，如表中所列出的数目。

从表中所列各个月份的兔子对数，我们发现了一个有趣的规律，就是后面一个月的兔子总数，恰好等于前面两个月的兔子总数的和。现在把各月份的兔子对数，排成一列数为：

1，1，2，3，5，8，……233，……

上面这一列数就称为斐波那契数列。这数列的每项叫做斐波那契数。

前面表中各月份兔子的对数，是一步一步地推算出来的，倘使月份再长一些，仍然用这方法推算就感到不方便了。如果运用一些数学知识和数学方法，就可得到斐波那契数的计算公式。

根据斐波那契数的性后面那个数，总是等于它前面两个数的和。用数学归纳送就可以得出计算斐波那契数列的第（m+n）项的公式：

a_m+n=a_m-1·a_n+a_m·a_n+1。

应用这个公式时，要先已知等式右边那几个数，在一般情况下，m与n可以取得接近些，对计算是有利的

现在让我们来算两个题目：

1.求斐波那契数列的第25项，即求a₂₅。

我们取m=13，n=12，使讲m+n=25。

代入公式，得

a₁₃₊₁₂=a_13-1·a₁₂+a₁₃·a₁₂₊₁

=144²+233² （因为斐波那契数的第12、项是144，第13项是233。）

∴ a²⁵=75025。

2.求斐波那契数列的第24项，即求a₂₄。

我们取m=12，n=12，使m+n=24。

代入公式，得

a₁₂₊₁₂=a_12-1·a₁₂+a₁₂·a₁₂₊₁

=a₁₁·a₁₂+a₁₂·a₁₃

=a₁₂(a₁₁+a₁₃)

=144(89+233)

∴ a₂₄=46368。