十进位制与二进位制是怎样换算的

平时，人们习惯用的是十进位制的数，而电子计算机运算是用二进位制的数。一个题目经过电子计算机运算后所得到的答案，我们希望仍用十进位制表示出来，因此，这里就存在一个相互转换的问题。那么，十进位制的数怎样换算成二进位制的数？二进位制的数又怎样化成十进位制的数呢？

（一）我们先看看十进位制的整数，是怎样转换成二进位制的整数的？（整数10→2）

1.将一个十进位制的整数，转换成二进位制时，只要不断地“用2来除”，每次所得的余数（必为0或1）挨次排列起来，就是自低位到高位的二进位制的整数。

例如：十进位制的23，相当于二进位制的多少？

∴ 23_十进=10111_二进。

2.利用2ⁿ及其十进位制数的对照，也可以转换。下面是2ⁿ及其对应的十进数表：

假设要化的数为S，我们只要拿S与表中的十进数相比，凡是大于S的那些位上的二进位制值必为0；找到小于S又最接近S时，该位上的二进位制值必为1，再将S减去这个十进数，得出的差再按上述规则去算。这样一直比下去，就能求出S的二进位制的数了。

例如:23十进相当于二进位制的多少？

因为23＜32，在位以上的二进数必为0，而16＜23，又最接近23，所以2⁴位上的二进数为1；再求出23-16=7。

因为又最接近7，所以位上的二进数也为1；再求出7-4=3。

因为2＜3又最接近3，所以2¹位上的二进数也是1。3-2=1，正好是2⁰，所以2⁰位上的二进数也是1。拼起来就得到000010111，也就是10111。

∴ 23_十进=10111_二进。

用惯以后，这个方法对于换算庞大的十进数是很方便的，而这一表格又可以随时列出来。

（二）十进位制的小数怎样化成二进位制的小数呢？（小数10→2）

1.将一个十进位制的小数，要化成二进位制的小数时，只要不断以2去乘，每次所得的整数（必为0或1）挨次排列起来，就是从高位到低位的二进位制的小数。（注意：每次以2去乘时，必须只乘小数部分。）

例如：0.8125十进等于二进数多少？

∴ 0.8125_十进=0.1101二进。

上面这个例子，是个化得尽的特例。事实上，极大多数的十进位制小数，要化成二进位制小数是化不尽的——永远算不完（每次乘2以后所得的“积”的小数部分不等于“零”），这时候只能取近似值。那么，究竟取多少位呢？这就要根据需要来决定了。但是，不论怎样，都能满足我们所要求的精度。这与十进位制中，除不尽的除法很相似（例如：1÷3=0.3333……），这时只能取近似值。取近似值时，十进位制是采用4舍5入；在二进位制中则采用0舍1入的办法。

2.利用2^-n及其对应的十进数表（即下表）的对照，也可以转换，具体方法与整数转换的第二种方法完全一样。

（三）二进位制的整数，怎样转换成十进位制的数呢？（整数2→10）

1.上面介绍了十进位制整数换算成二进位制整数的方法（整数10→2），用它的逆运算，就可得到由二进位制整数换算成十进位制整数（整数2→10）的方法，其步骤如下：

将要转换的二进位制的数，自高位开始，不断地“乘以2，将它的积加在低一位的数上”，最后所得的数，就是这个二进位制数所对应的十进位制的数。

例如：llOl_二进等于十进数多少？

∴ 1101_二进=13_十进。

2.以2ⁿ所对应的十进数（见第310页的表）相加，就可得到十进位制的数。

例如：1101=1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰

=8+4+0+1

=13。

（四）二进位制的小数，怎样转换成十进位制的小数呢？（小数2→10）

1.前面讲了十进位制小数，换算成二进位制小数的方法（小数10→2），它的逆运算就是二进位制小数化成十进位制小数的方法（小数2—10）:

先把要化的二进位制小数，自低位开始，不断地“除以2，将它的商加到高一位的数上”，最后再除以2，所得之数就是十进位制的小数。

例如：0.1101_二进等于十进数多少？

∴ 0.1101_二进=0.8125_十进。

2.以2^-n所对应的十进数（见第312页的表）相加，也可得到十进位制的小数。

例如：0.1101=1×2^-1+1×2^-2+0×2^-3+1×2^-4

=0.5+0.25+0+0.0625

=0.8125。

电子计算机在运算时，要把十进位制转换成二进位制，最后又要把二进位制化成十进位制，这岂不麻烦吗？事实上，这个反译工作是由电子计算机自己去完成的，因此，使用起来非常方便。