为什么说有理数和正整数一样多

大家都知道，数轴上表示正整数的点是间隔地分布在上面的，而任何两个有理数之间总可以找到另一个有理数，例如它们的平均数。这似乎表明有理数要比正整数多很多。但有理数和正整数其实一样多。换句话说，全体有理数可以和正整数建立一 一对应关系。

这个事实是康托尔在1873年发现的。他首先考虑的是全体正有理数｛$\frac{p}{q}$｝。按照下面给出的排列方式，我们可以将全体正有理数和正整数作成一 一对应：

显然，每个正有理数都出现在这个阵列中。如果按箭头所示依次重新排序，删除已经出现过的数，就得到全体正有理数的一个无穷序列：

$$1，2，\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，3，4，\frac{3}{2}，\frac{2}{3}，\frac{1}{4}，…$$

于是，

$$0，-1，1，-2，2，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}，…$$

便是全体有理数排成的一个无穷序列。于是，

$$\begin{matrix} 0 & -1 & 1 & -2 & 2 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & …\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \ \updownarrow & \updownarrow & \ \updownarrow\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \ \ 7 & 8 & \ \ 9 & … \end{matrix}$$

建立了有理数集合与正整数集合的一 一对应，所以说有理数和正整数一样多。