如何有效寻找素数

埃拉托色尼

取一个正整数$x$，如何才能找出不超过$x$的所有素数呢？有一种方法叫作埃拉托色尼筛法，其历史可以上溯到古希腊时期。

埃拉托色尼筛法的步骤如下：第一步,列出从2到$x$的所有整数，保留2，划去所有2的倍数。第二步，在剩余的数列中，紧跟着2的素数是3；保留3，划去所有3的倍数。第三步，在剩余的数列中，紧跟着3的素数是5；保留5，划去所有5的倍数。

埃拉托色尼筛法

如此下去，最后一步是，在倒数第二步的剩余数列中，保留最接近且不超过$\sqrt{x}$的那个素数，划去这个素数的所有倍数。

这样，剩下的数列就是不超过$x$的所有素数。以上做法是基于这样的事实：若$a$不是素数，则$a$一定有不大于$\sqrt{a}$的因子。

用埃拉托色尼筛法可以比较方便地编制素数表。要是碰到一个不很大的正整数$a$（比如不超过10 000），手头刚好没有素数表可查，如何快速地判定它是否是素数呢？事实上，只要拿不大于$\sqrt{a}$的一切素数去试除$a$就可以了。