洛书仅仅是一个神秘图案吗

河图与洛书是从中国古代流传下来的两个神秘图案。传说，上古伏羲时期，于黄河中浮出一头龙马，龙马身上负有一图；又在大禹治水时期，于洛水中浮出一只神龟，神龟的背上刻有神秘的符号。《周易·系辞》中有“河出图，洛出书，圣人则之”之说。传说伏羲据河图演绎八卦，大禹据洛书划天下为九州。古人对河图洛书推崇备至，认为它们蕴含着无穷的奥秘，甚至将它们当作治国安邦的神器。那么，洛书中究竟蕴含着怎样的奥秘呢？抛却文化因素，仅就数学而言，我们就可以发现其中所蕴含的各种奇妙性质。

洛书

洛书是由一些连成线的黑白圆点组成，如果将这些连成线的圆点数目用阿拉伯数字表示，就可以得到如下由数字1到数字9所排成的3行3列图表：

龙马与河图	神龟与洛书

这个图表的奥妙之处在于，其任一行、任一列以及对角线上的数字之和都等于15，即有 $$4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+3+8=\\ 9+5+1=2+7+6=4+5+6=2+5+8=15。$$ 更为奇妙的是，其中还蕴含着平方和等式。我们来看相对的两行和两列，即492、816以及438、276，将三个数字顺序取出其中的一位、两位、三位，则有如下等式： $$4^2+9^2+2^2=8^2+6^2+1^2，\\ 49^2+92^2+24^2=81^2+16^2+68^2，\\ 492^2+924^2+249^2=816^2+168^2+681^2；$$ 以及 $$4^2+3^2+8^2=2^2+7^2+6^2，\\ 43^2+38^2+84^2=27^2+76^2+62^2，\\ 438^2+384^2+843^2=276^2+762^2+627^2。$$

洛书中蕴含的数字奥秘激发了人们的探究热情，直到近年仍有新的奥秘被发现。例如：有数学家就发现了如下这些绝妙的逆序平方和等式： \[618^2+753^2+294^2=816^2+357^2+492^2\\ (行逆序平方和等式)\\ 672^2+159^2+834^2=276^2+951^2+438^2\\ (列逆序平方和等式)\\ 456^2+978^2+231^2=654^2+879^2+132^2\\ (主对角线逆序平方和等式)\\

丢勒在其名作《忧郁》的右上方构造了一个四阶幻方

456^2+897^2+312^2=654^2+798^2+213^2\\ (主对角线逆序平方和等式)\\ 258^2+471^2+936^2=852^2+174^2+639^2\\ (反对角线逆序平方和等式)\\ 258^2+714^2+693^2=852^2+417^2+396^2\\ (反对角线逆序平方和等式)\] 其中，主对角线和反对角线是指下图中将洛书重复一次并排后红色斜线和绿色斜线上的数字。

只是简单的1到9这九个阿拉伯数字，一旦按照洛书所示的位置排列，就能得到如此多的奇妙等式，难怪人们会对洛书着迷。

事实上，洛书所示的这种将1，2，$\cdots$，$n^2$，排列成$n$行$n$列，使得任一行、列以及对角线上数字之和都相等的数字图表，在中国古代被称为“纵横图”，在西方因其奇幻特性而被称为“幻方”。洛书就是一个3阶幻方。中国南宋时期的数学家杨辉在其《续古摘奇算法》中就曾构造了3阶、4阶、5阶$\cdots\cdots$10阶幻方。15世纪德国画家丢勒在其名作《忧郁》的右上角留下了一个4阶幻方。据说这个幻方是丢勒自己发现的，也是欧洲最早的4阶幻方：

幻方的奇幻特性引起了许多数学家的兴趣，费马、欧拉等大数学家都研究过幻方。随着对幻方的深入研究，其蕴含的各种神奇性质也被逐步揭示。幻方的研究是现代组合分析理论研究的起源之一。现在，它在组合数学、图论、程序设计、人工智能等领域都有相关的应用。此外，鉴于其丰富的对称性及蕴含的美丽图案，幻方还被应用于纺织品与工艺美术设计等领域。