为什么在公历中安排复杂的闰法

月份牌上有国际通用的公历也有农历

中国目前使用的历法是国际通用的公历，也叫作阳历，它纯粹是由地球围绕太阳公转决定的。公历中有平年和闰年，平年一年365天，其中二月是28天；而闰年是366天，其中二月是29天。公历中的闰法是这样规定的：“四年一闰，百年少一闰，四百年加一闰。”为什么要这样规定呢？我们可以用“连分数”验证它的科学合理性。

已知地球绕太阳公转一周是365天5时48分46秒，而一个平年只有365天，因此必须把误差5时48分46秒，折算成天数，再通过加闰（二月的28天改成29天）的方法吸收这些积累误差。以天为单位，把这个误差写成分数形式是 $$a=\frac{5}{24}+\frac{48}{24\times60}+\frac{46}{24\times60\times60}=\frac{10463}{43200}\thickapprox0.242 199 1.$$ 这表明43 200年中应该有10 463个闰年，想要消除误差，最好是均匀加闰，但这样既不便操作也不好记忆。用连分数近似可以提供便于记忆的闰法。

用辗转相除法不难得到误差$a$的连分数表示式为 $$a=\frac{10463}{43200}=\frac{1}{4}_+\frac{1}{7}_+\frac{1}{1}_+\frac{1}{3}_+\frac{1}{5}_+\frac{1}{64}.$$ 由第一个渐近分数$a_1$=1\4=0.25知道，每隔四年应该加一天，这就是“四年一闰”。当然，它是近似值，不够精确，还需要修正。由第三个渐近分数 $$a_3=\frac{1}{4}_+\frac{1}{7}_+\frac{1}{1}=\frac{8}{33}\thickapprox0.242 424 2.$$ 知道，每隔33年加8天，即每隔99年加24天更接近于实际。这说明100年（近似于99年）应该加24天而不应该加25天，也就是说应该“百年少一闰”。

但是如果始终是每100年加24天，那么过了43 200年，一共加了 $$432×24=10 368（天）.$$ 可是由$a$=10 463/43 200知道，过了43 200年应该加10 463天，少加了95天。这可不行！于是又进一步修正为“四百年加一闰”。

然而，按这种规定，可以算出在43 200年中，一共加了10 463天，又多加了13天，平均每3323年多加了一天。这就需要在历法中进行修正了。

由此可见，一方面，现行的历法是相当精确的，另一方面，还需要随时修正，而这一切都离不开数学。