为什么在乘除运算中规定负负得正

关于乘除法的基本运算性质中有“正负得负，负正得负，正正得正，负负得正”的“规定”，其中的前三条都比较容易解释和接受，但是第四条“负负得正”却较难理解。那么为什么要规定“负负得正”呢？这先要明确负数的意义。

负数最早出现于中国公元1世纪左右成书的古代算术名著《九章算术》的《方程》章。在这里，余钱数为正，而不足钱数为负；卖掉的牛数为正，则买入的牛数为负。《方程》章中还给出了绝对值的概念和正负数加减法的运算法则，称为正负术。印度的婆罗摩笈多在公元628年前后也引入了负数，所拥有的财产数为正数，而欠债数则为负数。总之，正数、负数都是具有实际意义的量，负数和正数的意义正好相反。比如，收入钱数（或者增加钱数）为正数，支出钱数（或者减少钱数）为负数。在引入数轴后，负数有了其确切的几何意义，位于原点右侧的数为正数，位于原点左侧的数为负数。具有相同绝对值的正数和负数互为相反数，它们对称地位于原点的两侧，到原点的距离相等。

《九章算术》

基于这些信息，“负负得正”的合理性可以从以下几个方面来解释。

从生活实例来看，如果我每次支出5元，共支出4次，那么钱数就减少5×4=20（元），这就是(–5)×4=–20；但是如果我少支出两次（支出–2次），那么钱数就增加5×2=10元，这就是(–5)×(–2)=10。

从数轴上来看，一个正数$a$乘以–1得到的是它的相反数–$a$，这就是(–1)×$a$=–$a$；一个负数–$b$乘以–1得到的也应该是它的相反数$b$，这就是(–1)×(–$b$)=$b$。

从代数角度来看，由分配律有3×(–2)+(–3)×(–2)=(3–3)×(–2)=0×(–2)=0，从而–6+(–3)×(–2)=0，移项后就得(–3)×(–2)=6。

从逻辑的角度看，乘一个负数，等于相反，等于否定；负负，等于否定之否定；而否定之否定等于肯定，这也可以说明“负负得正”的道理。