一元代数方程都有求解公式吗

像$2x–6=0$，$x^2–3x+2=0$，$x^3–5x–12=0$，$\cdots$这样的方程都称为一元代数方程。根据最高项的次数，它们又分别称为一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程，等等。对一元一次方程来说，解法极其简单。而一元二次代数方程的求解方法，许多古代文明也都在探索中得到了正确的结果。事实上，对一般的一元二次方程$a$$x^2+bx+c=0$，（$a$≠0），我们有求解公式：$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。公式中，通过方程的系数加减乘除与根式运算表示出了方程的解，因此由这样的公式给出的解称为方程的根式解。

塔尔塔利亚

欧洲数学家在12世纪时掌握了二次方程的求解方法。之后，他们开始探讨一元三次方程的根式解问题。几个世纪过去了，许多人的努力都以失败而告终。1494年，有数学家甚至做出悲观的预言：求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。

然而就在公元1500年前后，意大利数学家费罗初获成功，他得到$x^3+mx=n$这样一类缺项一元三次方程的求解公式。但他没有发表自己的成果，直到临终前，才将自己的解法传给学生菲奥尔等人。不久，另一位意大利数学家塔尔塔利亚声称获得了三次方程求解的方法。1535年，一次公开较量在菲奥尔与塔尔塔利亚之间展开。两人相约在米兰进行公开比赛，双方各出30个三次方程的问题，约定谁解出的题目多谁就获胜。最初，塔尔塔利亚只掌握了$x^3+mx^2=n$这类没有一次项的一元三次方程的求解，为了在比赛中获胜，他经过多日的苦思冥想，在比赛前夕终于找到了多种类型一元三次方程的解法。比赛的结果是，塔尔塔利亚获得了辉煌的胜利。

卡尔达诺

竞赛后不久，另一位数学家卡尔达诺（又译“卡丹”）听说了这件事。此后，他多次向塔尔塔利亚求教三次方程的解法，最终在立下永不泄密的誓言后，塔尔塔利亚向卡尔达诺公开了自己的秘密。此后，卡尔达诺经过钻研，终于对各种类型的三次方程都得到了解法及证明。1545年，卡尔达诺出版了他最重要的数学著作《大术》，将自己的发现公之于世，同时此书中还包括了他的学生费拉里的一项重要发现：一元四次方程的一般解法。卡尔达诺的失信激怒了塔尔塔利亚，一场争吵无可避免地发生了。1548年8月10日在米兰举行的公开辩论使这场冲突达到白热化。在这次与费拉里的公开然而并不公正的竞赛中，塔尔塔利亚失败了。直到现在，三次方程的求解公式仍被称为卡尔达诺公式。

然而，数学是永不止步的。一个问题的解决往往意味着新问题的诞生。在《大术》之后，人们马上投入到下一场角逐中，即如何找到五次方程的求根公式。没有人怀疑，只要有足够的天才，一元五次方程应该也是可以解决的。但一个世纪过去了，又一个世纪过去了，没有人取得成功。

1823年底，真正的突破出现了。年仅21岁的挪威数学家阿贝尔证明了一般的一元五次代数方程没有根式解。这正是之前两个多世纪里人们对这个“圣杯”的寻求无功而返的原因。阿贝尔把自己的研究成果复制了几份。为了节省印刷费用，他把自己思想的核心浓缩出来，只有6页纸。过于简化的证明让他的论文变得晦涩难懂，因而当时未能给数学界留下印象。一生被贫困与疾病折磨的阿贝尔于1829年4月6日因病离开了人世，还不满27岁。

阿贝尔死后不久，他的证明开始被人接受，但还有新的难题有待解决。哪些方程可以用根式求解，哪些不能，有没有一个适当的判别方法，过早去世使阿贝尔没有来得及解决这个问题，于是它被留给了伽罗瓦，一位在整个数学史上最具传奇和悲剧色彩的数学家。

17岁时，伽罗瓦在这方面的研究已经取得进展，之后他在几年的时间里陆续提交了多篇研究论文。然而，他的论文或被退回或被遗失或不被理解，一直未被数学界认可的伽罗瓦感到越来越沮丧。随后，一连串不幸的个人遭遇也随之而来。在沉重的打击下，他的热情转向了政治，为此两次入狱。1832年，他介入了一场无谓的决斗。决斗前的晚上，他彻夜工作，对自己的研究成果做了简要叙述。1832年5月30日，在决斗中伽罗瓦不幸倒下，并于第二天去世，年仅21岁。10多年后，他的论文重新被编辑发表，人们承认了他的天才思想。

伽罗瓦手稿

伽罗瓦思想之美，在于他不但证明了一般的一元五次（及五次以上）代数方程无法用根式求解，还解释了为什么一般的一元二次、三次和四次方程可以求解。他的研究同时给出了代数方程有无根式解的一个明确的判据，从而为代数方程根式可解性这一经历了300年的难题画上了圆满的句号。伽罗瓦工作的划时代意义更体现在，在解决这一问题的过程中，他引入了群论的思想，开启了数学研究的全新局面。