为什么说费马大定理是“一只会下金蛋的鹅”

17世纪，法国数学家费马在研读古希腊人丢番图的著作《算术》时，看到其中有一个关于勾股数的问题：“给定一个平方数，如何把它写成另两个平方数之和？”于是他在书旁空白处写道：“$\cdots$ $\cdots$ 一般来讲，任何一个幂次大于2的幂整数都不能写成两个同次幂整数之和。我发现了一个真正奇妙的证明，但空白处太小，写不下。”用现代的数学符号表示，费马是在说： $$x^n+y^n=z^n (n>2)　 　　　　（1）$$ 没有正整数解。这就是著名的“费马大定理”，又名“费马最后定理”。

邮票上的费马大定理

现在人们相信，费马并没有证明他的“大定理”，因为它真的太难了。18世纪的数学家欧拉只给出了$n=3$时的证明。19世纪的数学家高斯也研究过它，因得不到结果而放弃。而当20世纪的大数学家希尔伯特被劝去解决费马大定理时，他却说自己不愿意“杀死这只会下金蛋的鹅”。希尔伯特所说的“金蛋”，是指为了证明费马大定理而发展起来的那些绝妙的数学概念和理论。

首先是推广了“整数”的概念。数学家发现，把$n$次单位根$ω$（即$ω^n$=1）当作“整数”，那么（1）式就能分解为 $$z^n=x^n+y^n=(x+y)(x+yω)(x+yω^2)…(x+yω^{n-1})，$$ 进而可以深入分析。

法国数学家费马

英国数学家怀尔斯证明了费马大定理

我们知道，大于1的整数都能唯一地分解成为一些素数的乘积，像$6=2×3$，$20=2^2×5$等。扩充后的“整数”如果仍能保持这种唯一分解性，则费马大定理早已解决。可惜事实并非如此。例如6在扩充的“整数”中，有两个分解：$6=2×3$和$6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$。于是，19世纪德国数学家库默尔发明了一个全新概念“理想数”。在此基础上，他一下子证明了$n≤100$（除个别情况外）时的费马大定理。库默尔由此开创了现代数学的一门重要分支——代数数论。　

1994年，英国数学家怀尔斯经过8年闭门苦研，终于完全证明了费马大定理，这一困扰了数学家350多年的难题终告破解。怀尔斯的证明关键在于，他成功地应用“伽罗瓦群表示”建立起了“椭圆曲线”和“模形式”之间的对应，从而揭示了现代数学不同领域之间的深刻联系。这是费马大定理“生下的最后一个金蛋”。