为什么ii竟然是实数

$i^i$竟然是实数！这件事很让人感到意外，也很有趣。现在，我们来解释其中的原因。这涉及复数的复数次幂的定义。一切可以从著名的欧拉公式$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$出发。利用三角公式，复指数$e^{i\theta}$有我们通常实指数一样的性质，比如$e^{i(\theta_1+\theta_2)}=e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}$。这样，对一般的复数z=x+iy（x，y为实数），就有复指数

$$e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(cosy+isiny).$$

对于$z$=$x+iy$≠0，记$r=\sqrt{x^2+y^2}$，可以将$x$,$y$写为

$$x=rcos\theta，y=rsin\theta，（–\pi<\theta≤\pi）.$$ 这样，复数$z$又可表示为 $$z=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta}，$$ 称为复数$z$的指数表示。由于三角函数是周期为2π的周期函数，可以看出复数$z$的指数表示不唯一。事实上，对任意整数$k$，$z$=r$e^{i(θ+2kπ)}$。

我们知道，对数是指数的逆运算，这对复指数也应成立。这样我们可以有复数的对数：如果$z$=r$e^{i(θ+2kπ)}$，那么

$$lnz=lnr+lne^{i(θ+2kπ)}=lnr+i(θ+2kπ),k=0,±1,±2,\cdots$$

这里出现了一个奇怪的现象：复数的对数居然有无穷多个值。而$k$=0时，即lnz=lnr+iθ称为对数lnz的主值。

现在我们可以利用复指数和复对数来定义复数的幂$z^α$了。如果$α$=$n$是自然数，$z^n$就是$n$个$z$相乘。当$α$是一般的复数时怎么办呢？我们依靠指数函数与对数函数来定义：

$$z^α=e^{αlnz}.$$

这样定义的合理性在于：对于正实数x,a>0，我们已经有$x^a=e^{lnx^a}=e^{alnx}$。很显然，对一般的复数$α，z^α$也有无穷多个值。

现在我们来看看$i^i$究竟该等于多少？由于$i=cos(π/2)+isin(π/2)=e^{iπ/2}$，按定义，有

$$ln i=ln 1+i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)=i(\frac{\pi}{2}+2k\pi),k=0,±1,±2,\cdots.$$ 于是， $$i^i=e^{iln i}=e^{i\cdot i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)}=e^{-\frac{\pi}{2}-2k\pi}.$$ 可见，$i^i$的确是实数，其主值等于$e^{–π/2}$。