为什么在不带$\sqrt {} $键的袖珍计算器上也可以计算$\sqrt 2 $

有些简单的袖珍电子计算器没有键，但是我们也可用它来计算$\sqrt 2 $的近似值，方法如下：

先按数字键，再按倒数运算键，接着按加法运算键，数字键和等号键，这时，显示屏上的结果是2.5。

继续同样的步骤，也就是继续按，，，。这时显示屏上的结果是2.4。

再继续按，，，，并且可以多次重复顺次按这组键，最后，如果你想结束计算了，就可以按，，  ，，这时你一定可得到合乎精度要求的$\sqrt 2 $的近似值。

为什么可这样算呢？

因为1＜$\sqrt 2 $＜2，所以可设

$\sqrt 2 {\text{ = }}1 + \frac{1}{x}$。（x＞1）

由此解出

$x{\text{ = }}\frac{1}{{\sqrt 2 - 1}}$。

于是，

$\frac{1}{x}{\text{ = }}\sqrt 2 - 1{\text{ = }}\frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\sqrt 2 + 1}}{\text{ = }}\frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}$

得$\sqrt 2 {\text{ = }}1 + \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}$。

这个式子的右端仍含有$\sqrt 2 $，仍可以用$1 + \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}$来代替，所以有

$\sqrt 2 {\text{ = }}1 + \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}{\text{ = }}1 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}}}$。

其中的$\sqrt 2 $再用$1 + \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}$代替，得：

$\sqrt 2 {\text{ = }}1 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}}}{\text{ = }}1 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}}}}}$。

如此一直替代下去，可得${\sqrt 2 }$的无限连分数表示式：

$\sqrt 2 {\text{ = }}1 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{{2 + \cdots }}}}}}}}$。

截取适当的部分，则得到${\sqrt 2 }$的近似表示式，如

$\sqrt 2 {\text{ = }}1 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{{2 + \frac{1}{2}}}}}}}$。

把这个式子中的运算放到不带键的计算器上去进行，就是我们前面所介绍的步骤。