什么是“罗素悖论”和“理发师悖论”

在现在的中学课本里，集合论已经成为叙述数学结论、进行数学论证的重要工具，许多同学都能熟练地掌握它了。但是，你是否知道，集合论发展过程中曾经发生严重的危机，以致几乎动摇了数学的基础。

19世纪70年代，德国数学家奠定了集合论的基础以后，数学家一度感到数学已经到了非常完美的地步。在1900年的国际数学家大会上，数学界领袖庞加莱高兴地宣布：“数学的完全严格性已经达到了。”

然而，就在第二年，英国数学家、哲学家罗素就发现集合论中的一个很大的矛盾。

集合可以分为两类:第一类集合的特征是：集合本身又是集合中的元素，例如当时人们经常说的“所有集合所成的集合”；第二类集合的特征是：集合本身不是集合的元素，例如直线上点的集合。显然，一个集合必须是并且只能是这两类集合中的一类。现在假定R是所有第二类集合所成的集合。那么，R是哪一类的集合呢？

如果R是第一类的，R是自己的元素，但由定义，R只由第二类集合组成，于是R又是第二类集合；如果R是第二类集合，那么，由R的定义，R必须是R的元素，从而R又是第一类集合。总之，左右为难，无法给出回答。这就是著名的“罗素悖论”。

也许由于罗素悖论还比较难于理解，人们又用日常生活中的事物做比喻，给出了逻辑上类似的“理发师悖论”：某乡村理发师声称，他给并且只给自己不刮脸的人刮脸。理发师这么一说，他自己陷入了困境:他刮不刮自己的脸呢？如果刮，他违背了“只给自己不刮脸的人刮脸”的原则；如果不刮，他又违背了“给自己不刮脸的人刮脸”的原则。

罗素悖论的发现，动摇了作为数学大厦基石的集合论，数学的基础遭受了前所未有的震动，史称“第三次数学危机”。为了解决矛盾，重铸数学的基础，数学家进行了艰苦的努力，使集合论从朴素的形式走向公理化，策梅洛于1908年提出了一个公理化方案，他的宗旨是“集合的定义必须要有所限制”，既“保证排除一切矛盾”，又“使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来”。在策梅洛公理系统中，不再允许有像“所有集合所成的集合”之类的说法。策梅洛的公理化方案经弗伦克尔和斯科朗的改进和补充，成为目前公理集合论中占据主流地位的ZF公理系统。当然，在ZF公理系统之外，还有其他的公理化系统。

悖论和危机没有使数学基础崩溃，相反，在消除悖论、建立公理化系统的过程中，集合论得到发展和完善，数学得以建立在更加坚实的基础上。

关键词：罗素悖论 理发师悖论 数学危机 集合论