为什么黎曼猜想如此重要

1900年的一个夏日，200多位最杰出的数学家在法国巴黎召开了一次国际数学家大会。会上，德国著名数学家希尔伯特作了一次题为“数学问题”的重要演讲。在演讲中，他列出了一系列在他看来最重要的数学难题。那些难题吸引了众多数学家的兴趣，并对数学的发展产生了深远影响。

100年后的2000年，美国克雷数学研究所的数学家也在巴黎召开了一次数学会议。会上，与会者也列出了一些在他们看来最重要的数学难题。他们的声望虽可能无法与希尔伯特相比，但他们做了一件希尔伯特做不到的事情：为每个难题设立了100万美元的巨额奖金。

这两次遥相呼应的数学会议除了都在法国巴黎召开外，还有一个令人瞩目的共同之处，那就是在所列出的难题之中，有一个并且只有一个是共同的。这个难题就是1859年由黎曼提出的黎曼猜想，它被很多数学家视为最重要的数学猜想之一。

黎曼 函数的非平凡零点是否都在临界直线上还是一个问题

什么是黎曼猜想？黎曼猜想的内容无法完全用初等数学来描述。粗略地说，它是针对一个被称为黎曼ζ函数的复变量函数(即变量与函数值都在复数域中取值的函数)的猜想。黎曼ζ函数跟许多其他函数一样，在某些点上的取值为零，那些点称为黎曼ζ函数的零点。在那些零点中，有一部分特别重要的被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。黎曼猜想所猜测的是那些非平凡零点全都分布在一条被称为“临界线”的特殊直线上，它是通过实轴上的点1/2而平行于虚轴的直线。

黎曼ζ函数的非平凡零点（用深浅不一的色彩表示ζ函数的值）

黎曼猜想直到今天仍然悬而未决(既没有被证明，也没有被推翻)。不过，数学家已经从分析和数值计算这两个不同方面入手，对它进行了深入研究。迄今为止，在分析方面所取得的最强结果是证明了至少有40%的非平凡零点位于临界线上；而数值计算方面所取得的最强结果则是验证了前10万亿个非平凡零点全都位于上述临界线上。

为什么说黎曼猜想如此重要呢？是因为它非常艰深吗？不是。当然，黎曼猜想确实是非常艰深的，但是，如果仅仅用艰深来衡量的话，那么其他一些著名的数学猜想也并不逊色。比如费马猜想是经过350年以上的努力才被证明的；哥德巴赫猜想则比黎曼猜想早100多年就问世了，却跟黎曼猜想一样迄今屹立不倒。

一旦黎曼猜想被推翻，许多数学命题会随即变得不再成立

那么，为什么黎曼猜想被称为最重要的数学猜想呢？首要的原因是它跟其他数学命题之间有着千丝万缕的联系。据统计，在今天的数学文献中已经有1000个以上的数学命题是以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提的。这表明黎曼猜想及其推广形式一旦被证明，所有那1000多个数学命题就可以全都荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被推翻，则那1000多条数学命题中也不可避免地至少有一部分将成为“陪葬”。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这在数学中可以说是绝无仅有的。

其次，黎曼猜想与数论中的素数分布问题有着密切关系。数论是数学中一个极重要的传统分支，被德国数学家高斯称为“数学的皇后”。素数分布问题则又是数论中极其重要的传统课题，一直吸引着众多数学家的兴趣。这也大大增加了黎曼猜想在数学家心目中的地位和重要性。

再者，一个数学猜想的重要性还有一个衡量标准，那就是在研究该猜想的过程中能否产生出一些对数学的其他方面有贡献和影响的方法与结果。事实上，数学家在研究黎曼猜想的过程中所取得的早期成果之一，就直接导致了有关素数分布的一个重要命题——素数定理的证明。

最后，并且最出人意料的，是黎曼猜想的重要性甚至超越了纯数学的范围，而“侵入”物理学的领地。20世纪70年代初，人们发现与黎曼猜想有关的某些研究，居然跟某些非常复杂的物理现象有着显著关联。这种关联的原因直到今天也还是一个谜，但它的存在本身，无疑进一步增加了黎曼猜想的重要性。