为什么欧拉公式被认为是最美的数学公式

一般人认为数学中尽是些枯燥乏味的数字和公式，但数学家不这么认为。在数学家眼里，许多数学定理和公式都是很有魅力的，是很美的。例如，现代数论大家塞尔伯格就对如下公式 $$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$$ 情有独钟，在他看来，奇数1，3，5，$\cdots$能够组合出π真是奇妙无比，这个公式就像画一样。

在所有的数学公式中，被数学家公认为最美的数学公式，是如下这个公式： $$e^{i\pi}+1=0.$$

这个公式是大数学家欧拉得到的，是众多以欧拉名字命名的公式之一。那么，这个公式美在哪里呢？我们来分析一下。

欧拉公式是数学家眼中最美的公式

这个公式的奇妙之处在于，它将数学中最重要的5个常数：0，1，$\pi$，e，i，通过三种最基本的运算：加法运算、乘法运算及幂运算，用一个等号联系在了一起。在0，1，$\pi$，e，i这5个常数中，0和1是算术的代表，它们分别是加法运算和乘法运算的单位元，即任何数加0还是原来的数，任何数乘1也还是原来的数。通过四则运算，0和1可以生成所有有理数。$\pi$和e都是无理数。$\pi$是圆周率，其重要性不言而喻，它来自几何，但数学中处处要用到它。“这个数渗透了整个数学”（陈省身语）。e是自然对数的底，它来自数学分析（微积分）。e的出现使数学表达变得简洁和美观，它是微积分中最常见的常数。i是虚数单位，它来自代数，i的出现将数从实数扩充到了复数，从而使得任何代数方程都有根。

欧拉公式中，每一个常数、每一个运算以及等号，无一不是数学史上的经典之作，是数学中最基本、最重要的。这个公式是如此的简洁和完美，没有任何冗余，却又缺一不可。而且，这些常数来历各异，分属不同的学科，欧拉公式以这样和谐的方式将它们统一起来，无疑是一个奇迹。它深刻地体现了数学的美妙和和谐，无怪乎人们会认为它是数学中最美的公式。在法国巴黎发现宫的π大厅的门框上，我们就可醒目地看到这个公式。

上述欧拉公式是如下更一般的欧拉公式取$\theta$=$\pi$时的一个特殊情形： $$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta，$$ 这里$\theta$是实数。这个公式是如何得到的呢？这和复指数$e^z$的定义有关。它用初等数学无法解决，要涉及无穷级数，即无穷多项的求和。欧拉发现了指数函数$e^x$的如下无穷级数表示 $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots.$$

同样，三角函数$sin x$和$cos x$也有这种无穷级数表示 $$cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots,$$ $$sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots.$$ 在这些公式中将$x$取为复数也应该成立。于是，在第一个公式中取$x$=iθ，利用$i^2$=–1，并结合后面两个公式，我们很容易得到$e^{i\theta}=cos \theta+isin \theta$。这个公式本身就极其优美，它建立了指数函数和三角函数之间不可思议的联系。有了它，很多三角公式就可以轻而易举地推导出来。