为什么无理数比有理数多得多

有理数和无理数共同组成了实数。康托尔在发现有理数可以和作为它一部分的正整数一样多之后，很自然就想到了一个问题：实数是否可以和作为它一部分的有理数一样多？经过深入研究，康托尔得出了否定的结论。

为了说明康托尔的结论，我们先来注意一个事实。如图，从点$A$发出的射线，使得半圆周上的点与实数轴上的点作成一 一对应，而垂线又使得(0,1)区间上的点与半圆周上的点作成一 一对应，于是可以断言(0,1)区间上的实数与全体实数一样多。

实数轴与（0，1）区间之间的一 一对应

现在，康托尔只需证明，(0,1)区间上的实数不能像有理数那样排成一个无穷序列就行了。对此他用反证法给出了一个非常巧妙的证明：

德国数学家康托尔

假设(0,1)区间上的实数可以排成一列，设为$x_1$，$x_2$，$x_3$，$\cdots$。我们知道(0,1)区间上每一个实数都可以唯一地表示为无限小数，可以将每个$x_i$表示为$x_i$=0.$a_{i1}$$a_{i2}$$a_{i3}$$\cdots$(i=1,2,$\cdots$)。现在构造一个新数x=0.$b_{1}$$b_{2}$$b_{3}$$\cdots$，使得$b_1$≠$a_{11}$，$b_2$≠$a_{22}$，$b_3$≠$a_{33}$，$\cdots$ ，以此类推。这样构造出的数$x$当然是(0,1)区间中的一个实数，但它不可能是上面的数列$x_1$，$x_2$，$x_3$，$\cdots$中的任何一个数。

德国数学家希尔伯特

这表明无论将(0,1)区间中的实数如何排列，总有至少一个数不能排到这个序列中去。因此，虽然(0,1)区间上的实数和有理数都有无穷多，但它那种无穷（也就是全体实数那种无穷），要比全体有理数那种无穷（也就是全体自然数那种无穷）还大。由于实数去掉有理数剩下的就是无理数，显然无理数全体也是不能排成一个序列的（因为两个序列总是可以合成一个序列），这表明无理数比有理数还要多。