斐波纳契数列有多神奇

在所有的数列中，斐波纳契数列无疑是最著名的一个。1202年，生于意大利比萨的数学家莱昂纳多·斐波纳契完成了他的传世名著《算盘书》，书中对一个有趣的“兔子繁殖问题”进行了研究，斐波纳契数列便由此而来。

向日葵花盘中隐藏有裴波纳契数列

兔子繁殖问题实际上是斐波纳契提出的一个数学模型：假定一对大兔子一年生一对小兔子，一对小兔子一年后长成为一对大兔子，且所有的兔子都长生不死，那么这些兔子是按照什么样的规律繁殖的呢？

第一年，只有一对小兔子。

第二年，小兔子长成为一对大兔子，兔子的对数还是1。

第三年，大兔子生出一对小兔子，兔子的对数变成2。

裴波纳契螺线

第四年，大兔子又生出一对小兔子，原来的一对小兔子长成为一对大兔子，兔子的对数变成3。

$\cdots\cdots$

总结兔子的繁殖规律，可以发现：

每年的兔子对数=上一年的兔子对数＋该年新生的兔子对数=上一年的兔子对数＋上一年的大兔子对数=上一年的兔子对数＋上上一年的兔子对数。

也就是说，如果记第$n$年的兔子对数为$F_n$，则$F_1=F_2=1$，且对$n≥3$，有$F_n=F_{n–1}+F_{n–2}$，于是便得到如下的数列： $$1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，\cdots$$ 其中从第三项起，每一项均等于前面两项之和。由于这个数列是由斐波纳契首先加以研究的，后人就将其称为斐波纳契数列。

斐波纳契数列是一个非常有趣、有用而且有名的数列，它有许多奇妙的性质，数学家对它的研究至今没有停止。下面我们简单介绍几项。

用斐波纳契数列的前六个数1，1，2，3，5，8为边长的6个正方形，可以拼成一个边长为8和13的矩形。

用斐波纳契数列前 6 个数拼成矩形

一般地说，以斐波纳契数列的前n个数为边长的n个正方形可拼成一个矩形，它的边长为$F_n$和$F_{n+1}$。实际上，可用数学归纳法证明下述性质：$F_1^2+F_2^2+\cdots+F_n^2=F_nF_{n+1}$。斐波纳契数列还有通项公式： $$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left [ {\left (\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left (\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^n} \right ] \quad\ , n\geqslant1$$ 其中，$φ=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1.618 033 98\cdots$就是著名的黄金分割。

一个完全由自然数构成的数列，其通项公式竟然是由无理数$φ$来表示的，是不是很神奇呢。早在18世纪中叶，著名数学家棣莫佛和欧拉就已知道这个公式。到19世纪中期，法国数学家雅克·菲利普比内又重新发现了这一公式。

此外，可以看出的是，当$n$越来越大，斐波纳契数列中连续两项的比率$F_{n+1}/F_n$会越来越趋近于黄金分割$φ$。

除了许多数学上的奇妙性质以外，科学家还注意到，植物界中的某些数量分布也是遵循斐波纳契数列的，比如树枝分叉的数目、鲜花花瓣的数目、果实颗粒的分布、果皮螺纹的排列等。在美丽的向日葵上，其花盘上就有一左一右的螺旋线，如果有13条右旋，就有21条左旋，总数是34条。松果的鳞片也以螺旋状排列，小型的松果鳞片向右或向左排出5列，反方向则有8列，较细长松果的则是8列或13列。另外，许多植物的花瓣数目多为3、5、8、13、21等，有兴趣的话你可以找些花朵来数一数。

裴波纳契学会创始人、美国学者布鲁索正拿着一 个大松果向学生讲述裴波纳契数列的性质

植物的叶子在茎上的排列呈螺旋形上升。1611年，德国天文学家开普勒发现，如果把位于枝干或茎的周围的同一方向上的最近的两片叶子分别看成一个周期的开始和结束，在这个周期内可能有很多叶子，它们沿着枝干或茎也许会绕好多圈。记一个周期中叶子的总数为$m$，而这个周期中叶子所绕的圈数为$n$，则$m$与$n$都是与斐波纳契数列有关的数。例如，榆树的$n=1$，$m=2$；山毛榉的$n=1$，$m=3$；樱桃、橡树的$n=2$，$m=5$（也就是说，每个周期内有5片叶子，绕2圈才结束一个周期）；梨树的$n=3$，$m=8$；柳树的$n=5$，$m=13$。这些数都是斐波纳契数列中的数，实在是太神奇了！

关于斐波纳契数列的故事还有很多，特别是斐波纳契数列与黄金分割有密切关系。