函数极限的定义 用函式极限定义证明函式极限

用函式极限定义证明函式极限  

用函式极限定义证明函式极限

一般有几个方法阿，可以用定义，不过得先找到极限才能用定义证明。不需要知道极限就能证明存在性的就是柯西准则。还有有时候可以用归结原则证明/
例如：证明lim(1/n)=0,n->infi(无穷大)
公式字母没法打，参看《高等数学》高教社版，同济大学编

用函式极限证明

用定义证明极限都是格式的写法，依样画葫芦就是：
限 |x-1/2|<1/4，有 |x-1| > 1/2-|x-1/2| > 1/2-1/4 = 1/4。任意给定ε>0，要使
|x/(x-1)-(-1)| = 2|(x-1/2)/(x-1)|
= 2|x-1/2|/|x-1| < 2|x-1/2|/(1/4)
= 8|x-1/2| < ε，
只须 |x-2| < min{ε/8,1/4}，取 δ(ε) = min{ε/8,1/4} > 0，则当 0< |x-1/2| < δ(ε) 时，就有
|x/(x-1)-(-1) <= 8|x-1/2| < …< ε ，
根据极限的定义，得证。

用函式极限定义证明极限

证明：∵对任意的e>0，解不等式
|(2x+3)/x-2|=|3/x|=3/|x|<e
得|x|>3/e,取A≥3/e。
∴对任意的e>0，总存在A≥3/e，当|x|>A时，
有|(2x+3)/x-2|<e，
即lim(x->∞)[(2x+3)/x]=2.

证明函式极限，快！

证明
任取一个正数ε，取δ=ε√a
则可得
当|x-a|=|√x+√a||√x-√a|>√a|√x-√a|
则，当|x-a|<δ=ε√a
√a|√x-√a|<ε√a
即|√x-√D|<ε
因此，对于任意给出的一个正数ε，总存在另一个正数δ
使得满足|x-a|<δ的x也能使|√x-√a|<ε成立
所以√x当x趋于a时的极限为√a
命题得证

函式极限证明题

按照严格的极限定义证明如下
证明
x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立
左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε
右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε
所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时
-ε<f(x)-A<ε
即|f(x)-A|<ε
所以
函式f(x)当x->x0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等

证明函式的极限

由|1/x - 1/x0| = |(x-x0)/(x·x0)| = |(x-x0)|/|(x·x0|
所以，对任意的e>0,只需要取 d= min{|x0|²e/2 , |x0|/2}
则 当 0<|x-x0|<d时有：
(注意这时候 |x-x0|<d<|x0|/2,则有 |x0|/2 <x < 3|x0|/2,即|x|>|x0|/2)
上式 < (|x0|²e/2)/(|x0|²/2)=e
证毕。

用函式极限定义证明

求证：当x趋近于x0时，函式f（x）的极限等于A 。
证明：
只要证明：对任意小的e>0，存在d>0，当|x-x0|<d时，有|f(x)-A|<e，则证毕！
这里关键是使|f(x)-A|进行适当放大，得到 |f(x)-A|< g(|x-x0|) 然后，令g(|x-x0|)<e，从中解出 |x-x0|<v(e),然后取d=v(e)即可 。
例子：
|f(x)-A|<6|x-x0| < e |x-x0|<e/6
取d=e/6 对任意小的e>0，存在d=e/6>0
当|x-x0|<d时，有|f(x)-A|<6|x-x0| <(6*e/6)=e

函式极限证明题目

只要证明arctanx→π/2 （X→+∞） 即可，任给ε>0，取N=tan（π/2- ε），当x>N时，有x>tan（π/2- ε），即π/2-arctanx<ε。

lim√x=√a 函式极限的证明

即证凡满足0<|x-a|<δ
对于任意小的ε>0均有|√x-√a|<ε
令0<|x-a|<δ=ε√a 则
|√x-√a|
=|x-a|/(√x+√a)
<(|x-a|)/√a
<ε

用定义证明函式的极限

这题好贱……
证题的步骤基本为：
任意给定ε>0，要使|f(x)-A|<ε，（通过解这个不等式，使不等式变为δ1(ε）<x-x0<δ2(ε）为了方便，可让ε值适当减少），取不等式两端的绝对值较小者为δ(ε），于是
对于任意给定的ε>0,都找到δ>0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε . 即当x趋近于x0时，函式f(x）有极限A
例如证明f（x）=lnx在x趋于e时，有极限1
证明：任意给定ε>0，要使|lnx-1|<ε，只须-ε＜lnx-1＜ε,1-ε＜lnx＜1+ε,e＾(1-ε)＜x＜e＾(1+ε), ∴e＾(1-ε)-e＜x-e＜e＾(1+ε)-e,取δ(ε）=min（e-e＾(1-ε)，e＾(1+ε)-e）min后面两数是不等式两端的值，但左边的是不等式左端的负值要取绝对值，这两正数取较小的为δ，于是对于任意给定的ε>0,都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε . 即当x趋近于e时，函式f(x）有极限1
说明一下：取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函式值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。