数学家笛卡尔和公主的故事 数学家笛卡尔的简介

数学家笛卡尔的简介  

勒 内 · 笛卡儿Le nei · Di ka erCONTENT01生平简介02思想成就03具体内容01PART ONE生平简介勒 内 · 笛卡儿勒 内 · 笛卡儿勒内·笛卡儿，1596年3月31日生 于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷 拉海，1650年2月11日逝世于瑞典 斯德哥尔摩，是法国著名的哲学家、 数学家、物理学家。他是西方近代 哲学奠基人之一。 他对现代数学的发展做出了重要 的贡献，因将几何坐标体系公式 化而被认为是解析几何之父。他 还是西方现代哲学思想的奠基人， 是近代唯物论的开拓者且提出了 普遍怀疑的主张。02PART TWO思想成就勒 内 · 笛卡儿主要思想成就数学 哲学命题 我思故我在解析几何主要 思想成就哲学 二元论者物理 动量守恒定律03PART THREE具体内容勒 内 · 笛卡儿方法论1637年，笛卡尔发表了巨作《方法论》。这本 专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正 确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展， 有很大的贡献。为了显示新方法的优点与果效，以 及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》 的附录中，他增添了另外一本书《几何》。有关笛 卡儿坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。

笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里 得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的 建树，具有关键的开导力。笛卡尔符号法则笛卡儿符号法则首先由笛卡儿在他的作品《La Géométrie》中描述，是一个用于确定多项式的正根或 负根的个数的方法。如果把一元实系数多项式按降幂方式 排列笛卡儿简介，则多项式的正根的个数要么等于相邻的非零系数的 符号的变化次数，要么比它小2的倍数。如5,3,1或4,2,0。 而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所得 到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的倍数。特 殊情况：注意如果知道了多项式只有实数根，则利用这个 方法可以完全确定正根的个数。由于零根的重复度很容易 计算，因此也可以求出负根的个数。于是所有根的符号都 可以确定。笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的 统称。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点 重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标 是根据数轴上 对应的点的坐标设定的。在平面内， 任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐 标的对应关系。采用直角坐标，几何形状可以用代 数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直 角坐标必须遵守这代数公式。

直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空 间 。笛卡尔坐标系解析几何笛卡尔对数学最重要的贡 献是创立了解析几何。在笛卡儿时代，代数还是一个比较 新的学科，几何学的思维还在数学家 的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力 于代数和几何相联系的研究，并成功 地将当时完全分开的代数和几何学联 系到了一起。于1637年，笛卡尔在创 立了 坐标系 后，成功地创立了解析几 何学。他的这一成就为微积分的创立 奠定了基础，而微积分又是现代数学 的重要基石。解析几何直到现在仍是 重要的数学方法之一。解析几何在《几何学》卷一中，他用平面上的一点到两条 固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间 上的点。他进而创立了解析几何学，表明了几何问题 不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换 来实现发现几何性质，证明几何性质。笛卡尔把几何 问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法。 为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、 除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过 线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这 将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段 间的关系作图。解析几何在卷二中，笛卡儿用这种新方法解决帕普斯问 题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个 起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相 当于x轴、原点、y轴，构成一个斜坐标系。

那么该 平面上任一点的位置都可以用（x,y）惟一地确定。 帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定 方程。笛卡儿指出，方程的次数与坐标系的选择无 关，因此可以根据方程的次数将曲线分类。《几何 学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标 志着解析几何学的诞生。此后，人类进入变量数学 阶段。解析几何在卷三中，笛卡尔指出，方程可能有和它的次 数一样多的根，还提出了著名的笛卡尔符号法则： 方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负 根的最多个数（他称为假根）等于符号不变的次数。 笛卡尔还改进了韦达创造的符号系统，用a,b,c,… 表示已知量，用x,y,z,…表示未知量。解析几何解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和 几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形” 统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡 儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础， 从而开拓了变量数学的广阔领域。正如恩格斯所说： “数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运 动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有 了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”轶事：蛛织网和平面直角坐标系的创立据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复 思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能 不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形 来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点 和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过 什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。

突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来。一会功 夫，蜘蛛又顺这丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛 卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看作一个点。他在屋子里 可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确 定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如 果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那 么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个 数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点 P与之对应，同样道理，用一组数（X，Y）可以表示平面上的一个 点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是 坐标系的雏形。欧拉-笛卡尔公式欧拉-笛卡儿公式，是几何学中的一个公式。该公 式的内容为：在任意凸多面体，设V为顶点数，E为 棱数，F是面数，则V?E+F=2。 该公式最早由法国数学家笛卡儿于1635年左右 证明，但不为人知。后瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于 1750年独立证明了这个公式。1860年，笛卡儿的工 作被发现，此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。其实，名字叫做欧拉公式的公式有很多。不过在几何学中，欧拉公式指的是——简单多面体的顶点 数V、面数F及棱数E间有关系：V+F-E=2。

我们所学的几何体笛卡儿简介，如棱柱、棱锥等都是简单多面体。 欧拉公式的证明方法很多。证法一：逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E以简单的四面体ABCD为 例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都 没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1。（1）去掉一 条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形 中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变， V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E=2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只 剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。证法二：计算多面体各面内角和设多面体 顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（展开图）,求所有面内角总和Σα （1） 在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：Σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）（2）在拉开图中利用顶点求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，则其内角和为 (n-2)·1800 ，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角 和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体各面的内角总和：Σα = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600. （2）由(1)(2)得：(E-F) ·3600 =（V2）·3600所以，V+F-E=2。笛卡尔叶形线笛卡儿叶形线是一个代 数曲线，首先由笛卡儿在 1638年提出。直角坐标系： x 3+y 3=3axy 3a sin ?cos? 极坐标系 ： r= sin(? ) 3 + cos(θ ) 3 3at ? x= ? ? 1+t 3 参数方程： ? 2 3 at ? y= ? 1+t 3 ? 其中 ， t= t anθ心脏线心脏线是有一个尖点的外摆线。也 就是说，一个圆沿着另一个半径相同 的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心 脏线。心脏线是外摆线的一种，其n为 2。它亦可以极坐标的形式表示：r= 1 + cosθ 。这样的心脏线的周界为8， 围得的面积为 。心脏线亦为蚶线的一 种。在曼德博集合正中间的图形便是 一个心脏线。（未有严谨证据证明心 脏线是由笛卡尔发明）感谢各位聆听Thanks for Listening