竖直向下的 耶鲁基础物理1.5. 例题：高楼竖直抛物

耶鲁基础物理1.5. 例题：高楼竖直抛物  

现在做一道例题 ，以学会应用以上的公式，会从现在的运动状态预测未来的运动状态。

如图1.2所示，一栋楼，高度为 $y_0=15mathrm m$。我 在楼顶以$v_0=10mathrm{m/s}$的初速度向上抛出一块石头。石头会上升到最高点T点，然后下落。

图1.2 从高为$y_0=15mathrm m$的楼顶上，以$v_0=10mathrm{m/s}$的初速度向上抛出一块石头。图中虚线表示的是将时间倒回到抛出前的轨迹。

关于这块石头，你有任何问题都可以来问我，我都可以解答。比如，你可以问：过了9s它会到哪？过了8s它的速度是多少？等等。我们需要的只是给定的两个初始条件。为简单起见，石块的加速度是$a=-g=-10mathrm{m/s^2}$。

为了刻画石头的运动，我们先建立坐标系。

选向上作为正方向。（你愿意选向下作为正方向也是可以的。）

然后选取坐标原点。你可以选楼顶为坐标原点，地面的坐标就是$-15mathrm m$。你也可以选地面为坐标原点，你站的地方的坐标就是$15mathrm m$。

坐标系如何建立不影响物理，只影响数字。你也可以选一楼半的地方作为坐标原点，但是会给你解方程带来麻烦。

坐标系都是平等的，但有些坐标系会更平等一些。

我们这里选地面为坐标原点，以向上为$y$轴正方向。

石块抛出后，在任意时刻，石头的位置为

begin{equation}y= 15 + 10t - 5t^2label{1.20}tag{1.20}end{equation}

石块运动的信息尽在此公式。

当然，应用此公式时你必须要谨慎。比如，令 $t$ 为$10,000mathrm s$，你得到什么？

一个巨大的负数。

这么用公式是不合适的，因为石头一旦落地， $a=-g=-10mathrm{m/s^2}$这个前提就不存在了，所以，公式eqref{1.20}也就不成立了。

当然，你可以在地上挖一口很深的井，$y$可以取负值，上面的公式又能用了。

所以，对于公式，一定要清楚它的适用条件，知道公式是如何得来的，盲目套用公式，可能会得到不合理的结果。反过来说，如果用公式得到不合理的结果，就要从头检查，看看是不是误用了公式。

如果想知道石头在任意时刻的速度艾伦-g-马克迪尔米德简介，只要对eqref{1.20}求导，便得

begin{equation}v(t)=10-10tlabel{1.21}tag{1.21}end{equation}

我们现在问几个问题。

石头会上升到多高处掉头下落？

由eqref{1.20}式，代入$t$，就能求得$y$，可我们现在不知道石头上升到最高处的时刻$t^{*}$。怎么能求得$t^{*}$？

在最高处石头既不上升也不下降，即速度为零，$v(t^*)=0$，由eqref{1.21}式，得

begin{equation}0=10-10t^* \t^*=1mathrm slabel{1.22}tag{1.22}end{equation}

这样，我们知道，石头向上运动了$1mathrm s$，达到最高处，然后，掉头回落。现在我们就可以求出$y_{mathrm{max}}$了：

begin{equation}y_{mathrm{max}}=y(t^*)=y(1)=20mathrm mlabel{1.23}tag{1.23}end{equation}

再问一个问题，石头何时回到地面？

变成数学问题，就是问，$y=0$时，$t$等于多少？

将$y=0$代入eqref{1.20}，有

begin{equation}0=15 + 10t - 5t^2label{1.24}tag{1.24}end{equation}

这个二次方程的解为

begin{equation}t=3mathrm s 或 t=-1mathrm slabel{1.25}tag{1.25}end{equation}

为什么给出两个解？$t$能取负值吗？

不要为负时间感到困扰。$t=0$是我把钟调为零的那个时刻，昨天就是$t=-1 天$，不难接受吧？

不必觉得负时间不自然，与说公元前300年的含义是类似的。

回到我们的问题，这里的负时间如何解释？

eqref{1.20}式并没有说我爬上一栋楼楼顶，扔了一块石头还是什么东西。它表达的是，一个质点在$t=0$时刻位于$y=15mathrm m$处，速度为$10mathrm{m/s}$，以$-10mathrm {m/s^2}$的加速度运动。这就是eqref{1.20}式所知道的全部内容。

如果去掉高楼、石块、地面等背景信息，随着时间无论是向前推移还是往后回溯，质点都会持续运动着，于是在我设置的$t=0mathrm s$之前的$1mathrm s$，质点位于$y=0$处。

还有一种理解方式。

在$t=0mathrm s$之前的$1mathrm s$，质点以一个速率运动，这个速率我们可以求出来，怎么求？

由eqref{1.21}式，知$v(-1)=20mathrm{m/s}$。$t=0mathrm s$时刻，质点到达$y=15mathrm m$处，速率$v_0=10mathrm{m/s}$。

所以，有些时候，这种附加解释非常有趣。数学结果都应严肃对待，思考有没有意义。

英国物理学家狄拉克研究相对论量子力学时，在求粒子的能量时，发现能量$E$与动量$p$、质量$m$、光速$c$之间关系为：

begin{equation}E^2=p^2c^2+m^2c^4label{1.26}tag{1.26}end{equation}

能量解出来有两个解

begin{equation}E=pmsqrt{p^2c^2+m^2c^4}label{1.27}tag{1.27}end{equation}

你可能只想留下那个正的解，因为能量不能为负。但是从数学上讲，负的能量可以存在。负能量解是什么意思呢？狄拉克为保留和解释这个负根，预言了反粒子的存在。

方程真的是非常聪明。

物理学就是从数学中找到运动规律，代入初始条件，解方程，得到方程的解，个人主观能动性的空间很有限，解出什么就要接受什么，但是有可能会有出乎意料的答案，对乍看不合理的答案，不能草率放弃，你必须思考，这意外的答案是什么意思。

狄拉克就是一个好例子，他没有想到要解出反粒子。他解出两个根，在数学上同样有趣，都应该包含在物理理论中，他提出了反粒子。

数学里，二次方程正根与负根相伴，物理世界，粒子与反粒子同存。数学和物理好美妙！

狄拉克艾伦-g-马克迪尔米德简介，英国物理学家，预言了反粒子的存在。

在我们的例题中，我们提出另一种可能，石头是之前一个时刻从地面上抛出的。

回到我们的例题上来。如果你只问石头能达到的最高高度$y_{mathrm{max}}$，不问它达到最高高度的时间，还有另外一种简便的方法。

还记得公式吗？这个公式如何应用到本例题？

begin{equation}v^2=v_0^2+2a(y-y_0)label{1.28}tag{1.28}end{equation}

将$v=0$、$v_0=10mathrm{m/s}$、$a=-g=-10mathrm{m/s^2}$代入，得

begin{equation}y_{mathrm{max}}-y_0=5mathrm mlabel{1.29}tag{1.29}end{equation}

也就是说，石头能达到的最高高度是$20mathrm m$。

你也可以求出石头落地时（$y=0$）的速度：

begin{equation}v^2=[10^2+2(-10)(0-15)(mathrm{m/s})^2=400(mathrm{m/s})^2 \v=pm 20 mathrm{m/s}label{1.30}tag{1.30}end{equation}

我们应该取哪个根？

$-20mathrm{m/s}$。

正根如何解释？

石头上升阶段位于$y=0$处时的速度。