管轶 伦哈特·欧拉始简介_欧拉欧拉欧拉欧拉欧拉_应佚伦简介

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学院：化工学院 班级：应化 09-1 姓名：郭鹏 学号：200920517069简述欧拉的数学成就十八世纪瑞士数学家和物理学家伦哈特·欧拉（公元 1707～公元 1783） 始终是世界最杰出的科学家之一。他的全部创造在整个物理学和许多工程 领域里都有着广泛的应用。欧拉没有作出划时代的数学创造，但是，人们 却能在几乎所有的数学领域内，看到他闪光的名字，见到他辛勤耕耘的足 迹。欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想、欧拉图解、 欧拉定理、欧拉准则、欧拉多项式…，历史上，从未有人象欧拉那样巧妙 地把握数学，取得过那么多令人赞叹的数学成果。 不满 10 岁的时候，欧拉就开始自学《代数学》。这本书是德国著名数 学家鲁道夫写的经典著作，连欧拉的老师中，也没有几个人读过这本书。 小欧拉却读得津津有味。遇到弄不懂的地方，就用笔做上记号，事后再向 大人请教。13 岁那年，欧拉考入巴塞尔大学。这个全校年龄最小的学生， 很快就成为约翰。伯努利教授的得意门生。欧拉是一位品德高尚的数学家。 他曾与欧洲的 300 多名学者通信，在信中，常常毫无保留地把自己的发现 和推导告诉别人，为别人的成功创造条件。 1750 年， 19 岁的法国青年 拉格朗日（后来成为数学家）冒昧地给欧拉写信，讨论“等周问题”的解 法。

欧拉曾经长期苦心思索这个问题，当他发现这个法国青年的思路很有 特色时，立即回信予以热情鼓励，并压下自己这方面的作品暂不发表。 尤其令人感动的是，欧拉有 400 多篇论文和许多数学著作，是在他完 全失明的 17 年中完成的。早在 1735 年，由于过度紧张地工作，欧拉害 了一场病，导致了右眼失明。 1766 年以后，他的左眼也失明了。欧拉默 默地忍受着失明的痛苦，用惊人的毅力顽强拼搏，决心用自己闪光的数学 思想，照耀他人深入探索的道路，每年，他都以 800 页的速度，向世界呈 献出一篇篇高水平的科学论文和著作，还解决了一些数学难题。 欧拉的数学和科学成果简直多得令人难以相信。他写了三十二部足本 著作，其中有几部不止一卷，还写下了许许多多富有创造性的数学和科学 论文。总计起来，他的科学论著有七十多卷。欧拉的天才使纯数学和应用 数学的每一个领域都得到了充实，他的数学物理成果有着无限广阔的应用 领域。 在数学方面他对微积分的两个领域──微分方程和无穷级数──特别感 兴趣。他在这两方面做出了非常重要的贡献，但是由于专业性太强不便在 此加以叙述。他对变分学和复数学的贡献为后来所取得的一切成就奠定了 基础。

这两个学科除了对纯数学有重要的意义外，还在科学工作中有着广 泛的应用。欧拉公式 eiQ＝cosθ十 isinθ表明了三角函数和虚数之间的关 系，可以用来求负数的对数，是所有数学领域中应用最广泛的公式之一。 欧拉还编写了一本解析几何的教科书，对微分几何和普通几何做出了有意 义的贡献。欧拉对目前使用的数学符号制做出了重要的贡献。例如，常用 的希腊字母π代表圆周率就是他提出来的。他还引出许多其它简便的符号， 现在的数学中经常使用这些符号。欧拉不仅在做可应用于科学的数学发明上得心应手，而且在纯数学领域也具备几乎同样杰出的才能。但是他对数 论做出的许多贡献非常深奥难懂，不宜在此叙述。欧拉也是数学的一个分 支拓扑学领域的先驱，拓扑学在二十世纪已经变得非常重要。 欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更 把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家， 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》， 《微分学原理》，以及《积分学原理》都成为数学中的经典着作。除了教 科书外，欧拉平均以每年 800 页的速度写出创造性论文。他去世后，人们 整理出他的研究成果多达 74 卷。

欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支伦哈特·欧拉始简介，如无穷级数、微分方程等的产生与 发展奠定了基础。欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研 究科目。他计算出了ξ函数在偶数点的值，他证明了 a2k 是有理数，而且 可以伯努利数来表示。此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计 算出欧拉常数γ的值， 其值近似为 0.57721566490153286060651209 ……在 18 世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分 方程这门学科。其中在常微分方程方面，他完整地解决了 n 阶常系数线性 齐次方程的问题，对於非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；在 偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波 动方程的解法。欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数 学研究中的第一篇论文。 在微分几何方面，欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲 率半径的解析表达方式。在 1766 年，他出版了《关於曲面上曲线的研究》， 这是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑。 他将曲面表为 z=f(x,y)， 并引入一系列标准符号以表示 z 对 x,y 的偏导数， 这些符号至今仍通用。

此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上 截线的曲率公式。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了 G 函数和 B 函数，这证明了椭圆积分的加法定理伦哈特·欧拉始简介，以及最早引入二重积分等等。 在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之 积，即 a+bi 的形式。欧拉还给出了费马小定理的三个证明，并引入了数论 中重要的欧拉函数φ(n)，他研究数论的一系列成果使得数论成为数学中的 一个独立分支。欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了ξ函数所满足的 函数方程，并引入欧拉乘积。而且还解决了着名的哥尼斯堡七桥问题，创 立了拓扑学。欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复 变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来； 拓扑 学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一 些欧拉公式，比如分式公式等等 欧拉函数，在数论，对正整数 n，欧拉函数是少于或等于 n 的数中与 n 互 质 的 数 的 数 目 。 此 函 数 以 其 首 名 研 究 者 欧 拉 命 名 ， 它 又 称 为 Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。

例如φ(8)=4，因为 1,3,5,7 均和 8 互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成 了欧拉定理的证明。在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。 在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定 理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉， 该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小 定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多 面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配 净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产 品正好足够分配给各个要素。 欧拉角用来确定定点转动刚体位置的 3 个一组独立角参量，由章动角θ、 旋进角（即进动角）ψ和自转角 j 组成，为欧拉首先提出而得名。 欧拉方程 1755 年,瑞士数学家 L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首 先提出这个方程。 在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁 波的传播等问题时， 常常碰到如下形式的方程： （ax^2D^2+bxD+c） y=f(x), 其中 a、b、c 是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。

它的系数具有 一定的规律：二阶导数 D^2y 的系数是二次函数 ax^2，一阶导数 Dy 的系数 是一次函数 bx，y 的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。 欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上， 这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离 的一半。 莱昂哈德·欧拉于 1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首 次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共 线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点 圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距 离的一半。 欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中都能经常见到以 他的名字命名的重要常数、公式和定理。