用扩展欧几里得算法求 欧几里德算法扩展详细资料大全

欧几里德算法扩展详细资料大全  

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

基本介绍

中文名：扩展欧几里得外文名：expendgcd别称：无表达式：a*x+b*y=gcd(a,b)提出者：欧几里得提出时间：欧几里得时期套用学科：数学适用领域范围：工程，数学适用领域范围：计算机科学 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：int exGcd(int a, int b, int &x, int &y){if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int r = exGcd(b, a % b, x, y);int t = x;x = y;y = t - a / b * y;return r;} 把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。 可以这样思考: 对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b') 由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程式设计语言中的除法) 那么可以得到: a'x + b'y = Gcd(a', b') ===> bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===> ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b) 因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y) 补充：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法 对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。 上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足： p = p0 + b/Gcd(p, q) * t q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数) 至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。