既然你诚心诚意的发问了出自哪里 既然我诚心诚意的问了！一道高数题求助：lim n趋向于正无穷时, ∑（k=1到n)[k/(n^2+k^2)]=?

既然我诚心诚意的问了！一道高数题求助：lim n趋向于正无穷时, ∑（k=1到n)[k/(n^2+k^2)]=?  

既然我诚心诚意的问了！一道高数题求助：lim n趋向于正无穷时, ∑（k=1到n)[k/(n^2+k^2)]=?

解：分享一种解法，转化成定积分求解。
∵∑k/(n^2+k^2)=∑(1/n)(k/n)/([+(k/n)^2]，视“1/n”为dx、“k/n”为x，且k/n∈(0,1]，
根据定积分的定义，
∴lim(n→∞)∑k/(n^2+k^2)=∫(0,1)xdx/(1+x^2)=(1/2)ln(1+x^2)丨(x=0,1)=(1/2)ln2。
供参考。

limln(1+3^n)/ln(1+2^n) lim趋向于正无穷

lim(n->∞)ln(1+3^n)/ln(1+2^n)
consider
lim(x->∞)ln(1+3^x)/ln(1+2^x) (∞/∞)
=lim(x->∞)[(ln3).3^x/(1+3^x)]/ [(ln2).2^x/(1+2^x) ]
=lim(x->∞)[(ln3).3^x (1+2^x)]/ [(ln2).2^x.(1+3^x) ]
=lim(x->∞)[(ln3). (1/2^x+1)]/ [(ln2).((1/3)^x+ 1) ]
=ln3/ln2
=>
lim(n->∞)ln(1+3^n)/ln(1+2^n) =ln3/ln2

当n趋向于正无穷，求lim{{(根号（4n^2+n）)+n}/(n+2)}

等式上下同除以n，得：lim{[sqrt(4+1/n)+1]/(1+2/n)}，
当n趋向于正无穷大时，1/n,2/n都趋向于0，
所以得：（sqrt(4)+1)/1=3

求解lim (1+2^n+3^n)^(1/n) 其中n趋向于正无穷

提供2种解法
解1：n->无穷
3^n<(1+2^n+3^n)<3*3^n
lim (3^n)^(1/n)=3且lim (3*3^n)^(1/n)=3
由夹逼准则知lim(1+2^n+3^n)^(1/n)=3
解2
n→∞
lim(1^n+2^n+3^n)^(1/n)
=e^lim[(1/n)*ln(1^n+2^n+3^n)]
下面求lim[(1/n)*ln(1^n+2^n+3^n)]
=lim(1/n)*ln{(3^n)*[(1/3)^n+(2/3)^n+1]}
=lim(1/n)*{nln3+ln[1+(1/3)^n+(2/3)^n]}
这里ln[1+(1/3)^n+(2/3)^n]等价于(1/3)^n+(2/3)^n
=ln3+im[(1/3^n+(2/3)^n]/n
=ln3
所以最后结果为e^ln3=3

lim(n趋向于∞)∑(k=1……n)√k/(n√n)

原式=lim(n->∞)(1/n)[√(1/n)+√(2/n)+...+√(n/n)]
=∫(0,1)√xdx
=(2/3)*x^(3/2)|(0,1)
=2/3

级数问题，证明当正整数k趋向于正无穷时，lim(k!)^2(k^k)=正无穷大

【证明lim(k^k)/(k!)^2=0即可】
①考虑级数∑(k^k)/(k!)²:
∵ lima(k+1)/a(k)=lim[(k+1)^(k+1)•(k!)²]/[(k^k)•(k+1)!²]
=lim[(1+1/k)^(k)]•lim[1/(k+1)]
=e•0=0<1
∴ 级数∑(k^k)/(k!)²收敛
②根据级数收敛的必要条件：①的一般项lim(k^k)/(k!)^2=0
即lim(k!)^2(k^k)=正无穷大

lim(n趋向于无穷）（k/n-1/n+1-1/n+2－‘‘‘‘－1／n+k)(其中K为与N无关的正整数）

=lim(1/n-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)+...+1/n-1/(n+k))
=lim(1/(n+1)+2/(n+2)+...+k/(n+k))/n
lim(1/(n+1)+2/(n+2)+...+k/(n+k))/n>=lim(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+k))/n>=lim(1/(n+k)+1/(n+k)+...+1/(n+k))/n=lim k/(n(n+k))=0
lim(1/(n+1)+2/(n+2)+...+k/(n+k))/n<=lim(k/(n+1)+k/(n+2)+...+k/(n+k))/n<=lim(k/(n+k)+k/(n+k)+...+k/(n+k))/n=lim k^2/(n(n+1))=0
由夹逼准则得最后答案为0.

lim（n趋向于正无穷）（1+a+a^2+…+a^n）/(1+b+b^2+…+b^n) 其中|a|<1,|b|<1

利用等比数列的求和公式可知
原式=lim n->∞ { [1-a^(n+1)]/(1-a)} / { [1-b^(n+1)]/(1-b)} =(1-b)/(1-a)

证明当lim(n趋向于正无穷)an有界L，且函式f在L是连续的，则lim(n趋向于正无穷)f(an)=f(L).

伪命题，
照命题内涵，应假设lim(n趋向于正无穷)an存在，且有界L
an=1/n,极限存在0， 有界1
函式y=x^2在x=1连续，但lim(n趋向于正无穷)f(an)=f(0)不等于f(1)
提问者可能没注意，一个量有界，它就有无限个界。|sinx|<=1,1是界，但|sinx|<=2,2也是界

求极限：（1）当n趋向于正无穷时，3^n*sin(兀/3^n) （2）当x趋向于兀/3时，（1-2cosx)/sin(x-兀/3)

(1)、lim(n→∞) 3^n*sin(π/3^n)
=lim(n→∞) sin(π/3^n) / (1/3^n)
=lim(n→∞) π *sin(π/3^n) / (π/3^n)
当n→∞时，1/ 3^n→0，所以π/3^n→0，
故由重要极限，lim(n→∞) sin(π/3^n) / (π/3^n)=1
所以原极限=π * lim(n→∞) sin(π/3^n) / (π/3^n)=π
(2)、lim(x→π/3) (1-2cosx)/sin(x-π/3)
使用洛必达法则，对分子分母同时求导，
原极限=lim(x→π/3) 2sinx / cos(x-π/3)
=2sin(π/3) / cos0=√3 /1= √3
(3)、lim(x→0) ln(1+3x)/arcsinx
易知在x→0的时候，ln(1+x)，arcsinx都是x的等价无穷小，
所以ln(1+3x)等价于3x，arcsinx等价于x，
故原极限=lim(x→0) 3x/x= 3