如图二次函数yx2 如图，二次函数y=1/2X² ﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′

如图，二次函数y=1/2X² ﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′  

如图，二次函数y=1/2X² ﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′

1、AB=|x1-x2|=√(x1-x2)²=√(x1²-2x1x2+x2²)=√[(x1²+2x1x2+x2²)-4x1x2]=√[(x1+x2)²-4x1x2]------不写了
2、√(4-8c)=2c-1，平方得，4-8c=4c²-4c+1， 4c²+4c-3=0

如图，二次函数y=1/2x²-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M’

1.将点A(-4，0)代入：0=(1/2)×(-4)² - (-4) + c
解得c=-12
∴二次函数的关系式为y=(1/2)x² - x - 12
2.由(1)可得：点B的坐标为(6，0)， 顶点M的坐标为(1，-25/2) ，则点M'的坐标为(1，25/2)
∵点M是二次函数的顶点
∴AM=BM
∵点M'是顶点M关于x轴的对称点
∴AM'=BM'且AM=AM'
∴AM=BM=BM'=AM'
∴四边形AMBM'是菱形
|AB|=|6-(-4)|=10 ， |MM'|=|25/2 - (-25/2)|=25
S=|AB|×|MM'|=10×25=250
3.假设存在抛物线y=1/2x²-x+c，使得四边形AMBM'为正方形
则点A，B的坐标分别为A(x1，0)，B(x2，0) ，顶点M的坐标为(1，2c-1/2 )
根据韦达定理有：x1+x2=2 ， x1x2=2c
∴|AB|=|x1-x2|=(x1+x2)² - 4x1x2=|4 - 8c|
∵四边形AMBM'为正方形
∴AB=MM'
∴|4 - 8c|=2×[(2c-1)/2] ，整理后：4c² + 4c - 3=0 ，解得：c=1/2或c=-3/2
∵抛物线y=1/2x²-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点
∴b² - 4ac﹥0 ，即： 1 - 2c﹥0 ， 得：c﹤1/2
∴c=-3/2
∴存在抛物线y=1/2x² - x - 3/2，使得四边形AMBM'为正方形

如图，二次函数y=1/2x-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M’

⑴Y=1/2X^2-X+c过A(-4，0)，得：
0=8+4+c，c=-12，
∴Y=1/2X^2-X-12
⑵Y=1/2(X^2-2X+1-1)-12=1/2(X-1)^2-25/2，
顶点M(1，-25/2)，
令Y=0，即1/2(X-1)^2-25/2=0，
X=6或X=-4，
∴B(6，0)，AB=10
∴M‘(1，25/2)，MM‘=25，
S四边形AMBM’=1/2*AB*MM’=125。
⑶当MM‘=AB=10时，
M(1，5)，
∴5=1/2-1+c，
c=11/2，
∴Y=1/2X^2-X+11/2。

如图，二次函数y=1/2x2-x+c的图象与x轴分别交于A,B两点，顶点M关于X轴的对称点是M`。

y=(1/2)(x-1)²+c-1/2
顶点M（1,c-1/2)，对称点m(1,1/2-c)
即Mm=|2c-1|
因AMBm为正方形
所以AB=|2c-1|，且AB关于x=1对称
x1+x2=2，即(x1+x2)²=4
x1x2=2c
|x1-x2|=2c-1，即(x1-x2)²=4c²-4c+1
所以
4c²-4c+1=4-4*2c
即4c²+4c-3=0
(2c-1)(2c+3)=0
解得c=1/2（不合）或c=-3/2
综上可得此抛物线的函数关系式为y=(1/2)x²-x-3/2

是否存在抛物线y=1/2x2-x+c,使得四边形AMBM`为正方形?若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由。

如图所示,二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于A.B两点，与y轴交于C点，顶点为P

①A（0,3）B（-1,0）P（1,4）②由题可知，S=6,直线AB,y=3x+3,AB=根号10，所以D到AB的距离为12÷√10,设D（a,-a²+2a+3）,由点到直线的距离公式解出a,就可求出D

如图，已知二次函数y=-1/4x^2+3/2x+4 的图象与y轴交于点A，与x轴 交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D

由抛物线易求得A,C,D坐标为A(0,4), C(8,0), D(3,0)
∴线段AC所在直线方程为y=-1/2*x+4 （0≤x≤8）
设点E坐标为E(m,n)，且满足n=-1/2*m+4，0≤m≤8
可得ED=√[(m-3)^2+n^2], EC=√[(m-8)^2+n^2], CD=8-3=5
△EDC为等腰三角形，则有以下三种情况：
①ED=EC，即(m-3)^2+n^2=(m-8)^2+n^2
解得m=11/2，n=5/4
②EC=CD，即(m-8)^2+n^2=5^2
代入n=-1/2*m+4，
解得m=8-2√5，n=√5 （另一根m=8+2√5>8舍弃）
③ED=CD，即(m-3)^2+n^2=5^2
代入n=-1/2*m+4，
解得m=0，n=4 （此时，E,A重合）
（另一根m=8舍弃，因此时E,C重合，不构成三角形）
综上所述，符合条件的所有E点为(11/2,5/4),(8-2√5,√5),(0,4)

这个题应该是结合图形，再看s的两个取值范围就可以判断出s的值的！
这是由于1式中s=-(m-4)^2+16，可以看成s是关于m的二次函数，定义域为：0<m<8；这个你可以画出函数图象，可知s=16的函数值时只有m=4，其余的函数值都对应两个值变量值！
同理对于2式，你也可以画出2次函数图象，可以知道s=(m-4)^2-16，在定义域-2<m<0上是单调递减的！也就是说在每个函数值都只对应一个自变量值！
从而知：s=16时在1式中有一个m值为4；在2式中也只有一个m值！从而共有2个值！

你更应该了解这个m值分类讨论的依据是什么？这是由于题目说是x轴的上半轴！所以必须有：-1/4m^2+3/2m+4>0！
你这题是初中的题吧！若是高中的题话还可以利用点p到直线AC的距离公式！求出一个两次函数，利用两次函数的知识求解!!!!

二次函数y＝-1/2x²＋3/2+m-2的图像与x轴交于A，B两点与y轴交于C，且∠ACB＝90°

1.
设A(a, 0), B(b, 0), a < 0, b > 0
y = (-1/2)(x - a)(x - b) = -x²/2 + (a + b)x/2 -ab/2
-ab/2 = m - 2, ab = 2(2 - m) (i)
AC的斜率p = (m - 2 - 0)/(0 - a) = (2 - m)/a
BC的斜率q = (m - 2 - 0)/(0 - b) = (2 - m)/b
∠ACB＝90°, pq = -1 = (m - 2)²/(ab)
(m - 2)² = -ab =2(m - 2)
(m - 2)(m - 2 - 2) = 0
m = 4 (舍去m = 2, 此时C为原点)
y = -x²/2＋3x/2+ 2
2.
y = (-1/2)(x + 1)(x - 4)
A(-1, 0), B(4, 0)
OB = 4, OC = 2
三角形BOC面积S = (1/2)OB*OC = (1/2)*4*2 = 4
截得的三角形面积 = S/4 = 1
(1)
作一条与y轴平行的直线，与x轴交于M(m, 0), m > 0: 与BC交于N(m, n)
显然三角形BMN与三角形BCA相似
BC解析式: x/4 + y/2 = 1
x = m, y = (4 - m)/2
N(m, (4 - m)/2)
三角形BMN面积 = (1/2)*MB*MN = (1/2)(4 - m)(4 - m)/2 = (m - 4)²/4 = 1
m - 4 = ± 2
m = 2 (舍去m = 6 > 4)
三个顶点M(2, 0), N(2, 1), B(4, 0)
(2)
作一条与x轴平行的直线y = p, 0 < p < 2，直线与AC交于M(m, p), m < 0: 与BC交于N(n, p)
BC解析式: x/4 + y/2 = 1, y = p, x = 2(2 - p), N(2(2 - p), p)
AC解析式: x/(-1) + y/2 = 1, y = p, x = (p - 2)/2, M(p - 2)/2, p)
显然三角形CMN与三角形CAB相似
MN = 2(2 - p) - (p - 2)/2 = 5(2 - p)/2
MN上的高h = C的纵坐标 - M的纵坐标 = 2 - p
三角形CMN面积 = (1/2)MN*h = 5(2 -p)²/4 = 1
p - 2 = ± 2√5/5
p = 2 - 2√5/5 (舍去p = 2 + 2√5/5 > 2)
M(-√5/5, 2 - 2√5/5), N(4√5/5, 2 - 2√5/5), C(0, 2)

如图,二次函数y=-1/2x^2+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点

y=1/2x^2+2
不难得出A:(-2,0)B:(2,0)C:(0,2)
AC解析式为y=x+2
△PQC的QC为底，OP为高
设P：（x，0）
x-(-1)=t
x=t-1
S=t*(t-1)/2,2≤t≤4
连结MA,MB
∵OA=OB，∠AOC=∠BOC=90°，OC=OC
∴△AOM≌△BOM
∴∠ACO=∠BCO，AC=BC
∵CM=CM
∴△ACM≌△CBM
∴当△ACM为等腰三角形时，△CBM为等腰三角形
当AC=CM
AC=2√2，则CM=2√2
M1：(0,2+2√2) M2:(0,2-2√2)
当AO=CO
则M：（0,0）
当AM=CM
设M：（0，m）
2^2+(m+2)^2=(m-2)^2
m=-1/2
则M:(0,-1/2)
P:(t-1,0)Q:(0,t+2)
PQ直线为y=(2+t)x/(1-t)+t+2
与y=x+2交点G为( (t^2-1)/(2t+1),(t^2+4t+1)/(2t+1) )
E:(t-3)/2,(t+1)/2
EG=(5t+1)/(4t+1)√2
发生改变