有没有素数公式

素数又称质数，你在小学里就开始同它打交道了。怎样找素数？公元前300多年，希腊学者埃拉多斯染尼提出了一种筛法（见《十万为什么》数学第1册《素数的个数是有限的吗》），素数表就是用这一方法造出来的。

素数能不能用一个公式一一表示出来呢？或者降低一些要求，有没有一个公式，它虽然不一定能把每一个素数都表示出来，但通过这个公式计算出来的都是素数呢？为了回答这个问题，好多数学家绞尽了脑汁。

法国的费马是个才思敏捷、有卓越贡献的数学家。他一生中有过好几个猜想，其中有一个是有关素数公式的。

费马计算了式子

$F\left( n \right) = 2_{}^{{2^n}} + 1$

的值，他发现，当n=1，2，3，4时都是素数，于是他猜想这是一个素数公式。

后来，欧拉指出，当n=5时

$\eqalign{ & F\left( 5 \right) = 2_{}^{{2^5}} + 1 = 4294967297 \cr & = 641 \times 6700417 \cr} $，

是一个合数。于是，费马的上述“素数猜想”被否定了！接着，人们又陆续找到了很多反例，甚至至今还没有人能利用这一式子求出新的素数来。可见，这个所谓的“素数公式”是很糟很糟的。

除了费马关于素数公式的猜想外，历史上还有过其他猜想。例如，有人猜想

f（n）=n²-n+17

是素数。当n=0，1，2，…，16时，f（n）分别等于17，17，19，23，29，…，257，确是素数，但是当n=17时，

显然不是素数，猜想又被推翻了。

还有人不甘心，企图对这个式子加以改进，从而得到新f（17）=17²-17+17=17²

的素数公式。譬如，有人改进为

f（n）=n²-n+41；

f（n）=n²-n+72491，

f（n）=n²-79n+1601。

可惜，又都被一一否定了。

直至现在，还有人在提出关于素数公式的猜想。1983年，我国有人提出了一个关于素数公式的猜想：

当p是奇素数时，

$f\left( p \right) = \frac{1}{3}\left( {{2^p} + 1} \right)$

是素数。

对此，提出者本人作了一些验证：

p=3时，f（3）=3；p=5时，f（5）=11；

p=7时，f（7）=43，p=11时，f（11）=683；

p=13时，f（13）=2731；p=17时，f（17）=43691；

p=19时，f（19）=174763，

都是素数。

人们继续算下去，

p=23时，f（23）=2796203，

也是素数。但是

当p=29时，f（29）=178956971=59×3033169，

是个合数。这一猜想又被否定了。

差不多与之同时，有报道说，国外已有人找到了一个“相当理想”的素数公式。为什么说“相当理想”呢？因为从理论上说，它能够把各个素数表示出来。

这个公式是这样的：

$f\left( {m，n} \right) = \frac{{n - 1}}{2}\left\{ {\left| {{{\left[ {m\left( {n + 1} \right) - \left( {n! + 1} \right)} \right]}^2} - 1} \right| - \left[ {m\left( {n + 1} \right) - {{\left( {n! + 1} \right)}^2} + 1} \right]} \right\} + 2$

其中，m、n是自然数；“n！”读作“n的阶乘”，它的意思是从1，2，3，…一直乘到n，即

n！=1×2×3×…×n。

举些例子说明一下：

当m=1，n=2时，f（1，2）=3；

当m=3，n=4时，f（3，4）=2；

当m=5，n=4时，f（5，4）=5；

当m=103，n=6时，f（103，6）=7，

都是素数。

这个公式虽然已获得证明，但一般认为实用价值不大。