如何判定一类具不确定性的代数和的奇偶性

在小学里我们就知道，全部整数可以分为两大类：奇数和偶数。凡是能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数。难道奇数和偶数就那么简单吗？当然不是。即使是奇数或偶数的判别，也很有学问呢！比如，下面一个问题：

把1，2，3，…，1990这1990个连续整数中的每一个数，任意添加上正号或负号，使之成为正整数或负整数，再求其代数和，问所得的结果是奇数还是偶数？

这个问题的困难之处在于所求的代数和没有确定性。由于在哪些数前添加正号，哪些数前添加负号是因人而异的，不同的添加方法，所得的和的值不尽相同，这就告诉我们，要解决这个问题，不应走先求出其和，再判断其奇偶性这条路。那么，如何才能不求出代数和而判别其奇、偶呢？我们先分析一下任意两个整数的代数和其奇偶的可能情况。

任意两个整数a、b，其代数和是奇数还是偶数只有三种可能：

1.a、b都是偶数，则a+b与a-b同为偶数。

2.a、b都是奇数，则a+b与a-b同为偶数。

3.a、b一奇一偶，则a+b与a-b同为奇数。

由上分析可知，不管a、b是奇数还是偶数，a+b与a-b具有相同的奇偶性，即a+b与｜a｜+｜b｜具有相同的奇偶性。

一般来说，若有任意n个整数a₁，a₂，a₃，…，a_n，则

a₁+a₂+…+a_n与｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a_n｜

具有相同的奇偶性。换句话说，n个整数（不一定要连续的整数），其和的奇偶性不因为改变了这些整数的正负而发生改变。所以对上述1990个连续整数中的每一个数，任意添加正号或负号，其代数和的奇偶性与1+2+3+…+1990的奇偶性相同。由于

$\eqalign{ & 1 + 2 + 3 + \cdots + 1990{\text{ = }}\frac{{\left( {1 + 1990} \right) \times 1990}}{2} \cr & {\text{ = }}1991 \times 995 \cr} $

是奇数，所以无论在1，2，…，1990这些整数前如何添加正号或负号，所得之和仍然是奇数。