贾宪三角是怎样造出来的

《十万个为什么》数学第1册里，介绍过“什么叫做贾宪三角形”，那么，这三角是怎样造出来的呢？公元1261年，我国宋代大数学家杨辉写了一本书，名叫《详解九章算法》。书中记载了一个用数字排列起来的三角阵（如图）。据杨辉说，这个数字三角阵原名为“开方作法本源图”，是以前的一个名叫贾宪的人用的。因此，现在人们通常把这个三角阵叫做“贾宪三角”。

贾宪三角中各行中的数字正好是二项式a+b乘方后展开式中各项的系数。这是不是说，贾宪三角就是从a+b的各次乘方的展开式中，抽出了系数后排列起来的呢？不是。若是这样说，就倒果为因了。据史书记载，贾宪的造表方法叫做“增乘法”，这是二种十分简便的方法。“增乘”是随乘随加的意思。比如，要造一张具有七行的贾宪三角，按增乘法，先是列出一行（6个）1，即

1 1 1 1 1 1（1）

然后，自右而左逐一增入，得

6 5 4 3 2 1（2）

以下，再依次自右而左逐一增入，但每次减低一位而止，即

15 10 6 3 1（3）

20 10 4 1（4）

15 5 1（5）

6 1（6）

最后只要将这六行数整个地（按逆时针）旋转90°并在末行两边各添加一个1，便得到上图那样的贾宪三角。

不难发现，如果将第一行中的1的个数任意增大，那么就可以得到任意大的贾宪三角，从而得到二项式a+b的任意次展开式的系数。

遗憾的是，关于增乘方法是怎样想出来的，现在已经无法查考了。中国古代数学家后来还应用增乘方法去解数字系数的高次方程，发明了增乘开方法。