为什么有些六位数数字依次移动后其整除性不变

这里所说的有些六位数，是指能被7或37整除的六位数。这类六位数有一种奇妙的性质：将它们最低数位上的数字依次移到最高数位上去以后，得到的新的六位数仍能被7或37整除。

例如，724934是一个能被7整除的六位数，把它的最低数位上的数字依次移到最高数位上去，每次移动一个数字，可得到5个新的六位数，这5个六位数也都能被7整除。请看：

724934=103562×7；

472493=67499×7；

347249=49607×7；

934724=133532×7；

493472=70496×7；

249347=35621×7。

又如，319424也是一个能被7整除的六位数，按上面的方法，把它最低数位上的数字依次移到最高数位上去，所得到的5个新的六位数，仍都能被7整除。对不对，读者可以自己验算一下。

再如456728，它是一个能被37整除的六位数，用上述方法得到的5个新六位数，也都能被37整除：

456728=12344×37；

845672=22856×37；

284567=7691×37；

728456=19688×37；

672845=18185×37；

567284=15332×37。

为什么能被7或37整除的六位数具有这种性质呢？下面，我们来分析一下。

六位数可以表示为

${\text{N = }}\overline {{a_6}{a_5}{a_4}{a_3}{a_2}{a_1}} $。

为了使最低数位上的数字移到最高数位上之后，所得到的仍然是一个六位数，我们必须设a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆都不为零。在这一条件下，N可以表示为：

$\eqalign{ & {\text{N = }}\overline {{a_6}{a_5}{a_4}{a_3}{a_2}} \times 10 + {a_1} \cr & {\text{ = }}10m + {a_1} \cr} $。

其中，$m = \overline {{a_6}{a_5}{a_4}{a_3}{a_2}} $。

将N的个位数字移到最高数位后，得到的数记为N₁，则

$\eqalign{ & {{\text{N}}_{\text{1}}}{\text{ = }}\overline {{a_1}{a_6}{a_5}{a_4}{a_3}{a_2}} \cr & {\text{ = }}{10^5}{a_1} + \overline {{a_6}{a_5}{a_4}{a_3}{a_2}} \cr & {\text{ = }}{10^5}{a_1} + m \cr} $，

$\eqalign{ & 10{{\text{N}}_{\text{1}}} - {\text{N = 1}}{{\text{0}}^{\text{6}}}{a_1} + 10m - 10m - {a_1} \cr & {\text{ = 1}}{{\text{0}}^{\text{6}}}{a_1} - {a_1} \cr & {\text{ = }}\left( {{\text{1}}{{\text{0}}^{\text{6}}} - 1} \right){a_1} \cr & {\text{ = 999999}}{a_1} \cr} $，

即10N₁=999999a₁+N。

由于999999是奇数，它的任意一个约数必为奇数，又都是与10互素的，所以只要N能被999999的某一个约数整除，N₁也必能被这个约数整除。7、37都是999999的约数，所以如果N能被1或37整除的话，N₁也一定能被7或37整除。这也就是前面所讲的奇妙的性质。

仔细考察999999的分解式，你还可以给六位数推出其他的一些有趣的性质。