为什么说音乐中也要用到数学

平时我们放声歌唱，或者纵情弹奏，可从来没有想到过解方程，也没有想到过加减乘除。但是，声音是振动产生的，不管是乐器还是声带都离不开振动，振动的频率还决定音调的高低。那么，频率怎么计算呢？这就要用到数学了。

人们早就认识到，当两个音（振动）的频率比是个简单的整数比时，这两个音（振动）才是协调的。譬如一根弦可弹出“do”。那么，它的一半长的弦可弹出“$\dot do$”。由于弦长减半，频率就加倍，就是说，频率加倍，就可以得到高八度的音。人们还知道，频率扩大$\frac{3}{2}$倍，就从“do”变成“so”，扩大$\frac{9}{8}$倍，就从“do”变成“re”……

古希腊学者毕达哥拉斯提出了七音。其实，我国在公元前1200年的周武王时代就有了七音的传说。后来，又有了所谓“三分损益”的计算音频的方法，被后人誉为音乐史上的惊人发现。所谓“三分损益法”是这样的：

设弦全长发音“do”，弃去它的1/3长，这时，长度是原弦的$\frac{2}{3}$，频率为“do”的$\frac{3}{2}$发出的音为“so”。这就是“三分损一”。

以“so”为基础，弦长增加$\frac{1}{3}$，即弦长为“so”时弦长的$\frac{4}{3}$倍，频率为$\frac{3}{4}$倍，就得到“re”。这就是“三分益一”。这时，因为“so”的频率是“do”的$\frac{3}{2}$倍，所以，“re”的频率是“do”的$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4}$倍，就是$\frac{9}{8}$倍。

接下去，“三分损一”，得“la”；“三分益一”得“mi”；“三分损一”得“si”；“三分益一”得“fa”，……这样交替“损”（弃去）、“益”（增加），就可以得到全部七音。

这样得到的七音的频率与“do”的频率比，同标准十分接近。

在钢琴上，高音$\dot do$的频率是低音do的2倍，但是，从do到$\dot do$之间被分成了12个半音。每个半音程都等于$\root {12} \of 2 $。也就是，相邻两个半音的频率比都等于$\root {12} \of 2 $。所以，钢琴上的音的频率比都不是简单整数比，它们都不是精确的协和音。

为了使钢琴上发出的音与自然协和音足够精确，有人建议要将一个八度音划分成19个音。这个意见将符合作曲家的意向，并且事实上也被小提琴家注意到了。