为什么说“七桥问题”的解决开创了一门新的数学学科

故事发生在18世纪初叶。东普鲁士的一座古城一哥尼斯堡有一条布勒尔河，它有两条支流，在城中心汇成大河。河中间有个岛，河上有7座桥，如图1所示。

图1

由于风景好，环境安静，人们喜爱到这里散步、憩息。时间长了，有人就提出一则趣题：怎样才能不重复地走遍7座桥，回到原出发地？这就是历史上著名的七桥问题。问题提得这样自然，以致谁是第一个提出者都没有办法查考。这个问题看上去很容易，吸引了许多人，却无人能解决。大家都相信是有解的，却又找不到一个符合要求的解答。于是有人给在彼得堡工作的瑞士数学家欧拉（LeonardEuler，1707—1783）写信，向他求教。

欧拉是历史上最伟大的数学家之一，当时他还年轻。他用点表示陆地，用连接两个点的线表示桥，用图2代替图1，于是七桥问题就转化为图2能不能一笔画出的问题。

图2

在现代数学中，图2内表示陆地的点称为顶点，连接2个顶点的线称为边。像图2这样由顶点和边组成的图形叫做“图”。

很明显，在任何可以一笔画出的图内，中间经过的顶点总是一进一出，不能停顿，所以与中间顶点连接的边数一定是偶数条。在七桥问题中，起点与终点重合，因此与兼为起点、终点的顶点连接的边数也一定是偶数条。可是在图2中，没有一个顶点是连接着偶数条边的，所以七桥问题无解。七桥问题就这样被否定地解决了。

欧拉在解决七桥问题的过程中，首次引入了图的概念。图是由若干个顶点与若干条连接顶点的边组成的图形。两个图只要它们的顶点数目相同，并且在顶点之间具有相同的连接关系，这两个图就被看成是相同的。关于七桥问题的图，也可以画成图3那种样子，这对问题的解决不会带来任何妨碍。因此，在图中，顶点的位置以及边的长短、曲直是无关紧要的，而讨论边的夹角、图形的面积等等问题更是毫无意义。这与欧氏几何很不相同，为数学研究开创了一个新的领域。

图3

后来，人们发现在不同的实际问题中，顶点和边可以被赋予不同的含义。尤其是近几十年来，图找到了广阔的用武之地，逐步形成了以研究图的理论及其应用为目的一门新的数学学科——图论。

在图论中，将可以一笔画的且起点与终点重合的图称为“欧拉图”。在1736年发表的关于七桥问题的论文中，欧拉给出了判别一个图是不是欧拉图的必要条件。这是图论中第一个重要的研究成果。

图4

如果在图中，从某个顶点出发，沿着边前进可以到达其他任何一个顶点，这样的图称为“连通图”。反之，称为“非连通图”。上面七桥问题的图是连通图，左面的图4是一个非连通图。在图中，与某个顶点连接的边数，称为该顶点的度数。度数为奇数的顶点称为奇点，度数为偶数的顶点称为偶点。例如在图2中，顶点A的度数是5，是奇点；顶点D的度数是3，也是奇点。又如在图4中，顶点C的度数为2，是偶点。一个图成为欧拉图的充分必要条件是：该图是连通图，并且所有的顶点都是偶点。

由于用图论方法解决问题时，形象、直观，所以在物理学、化学、生物学、计算机科学、运筹学、心理学、语言学、社会学等众多的自然科学和社会科学领域中都有广泛的应用。如今已经举世公认，1736年是图论的诞生年，欧拉是图论的创始人，七桥问题的解决开创了图论这门新的数学学科。