怎样巧妙地解100盏灯最后有哪些亮着的问题

在一次数学竞赛中，参赛者遇到了这样一道有趣的题目：“有100盖电灯排成一行，从左到右依次标上1，2，…，100这些号码。每盖灯都有一根拉线开关，最初电灯全部关着。另有100个人，第一个人走过来把号码是1的倍数的灯的开关都拉了一下；第二个人走过来把号码是2的倍数的灯的开关都拉了一下…；第n个人走过来把号码是n的倍数的灯的开关都拉了一下，直到最后一人走过来，把号码是100的灯上的开关拉了一下。问：这样做了以后，哪些灯是亮着的？”

你将怎样解这道题呢？

有的同学可能会这样想：第一个人走过以后，所有的灯都亮了；第二个人走过以后，1，3，5，…这些奇数号的灯是亮着的；第三个人走过去以后，3号灯关上，6号灯打开，9号灯关上……这样分析下去也许会得出正确的结论。

但是这样做太复杂了！如果我们能找出其中的规律，问题就好解决得多。

我们可以这样思考：

（1）因为最初灯是关着的，所以凡是被拉了奇数次开关的灯最后应该是亮着的，而被拉了偶数次开关的灯则是关着的。

（2）一个标号为m的灯，如果m只有两个正约数（包括1与m自身），那么开关只被拉了两次。比如5号灯，5只有1、5这两个正约数，因此只有第一个人和第五个人各将开关拉了一下，最后5号灯是关着的。同样，如果m有三个正约数，也就被拉了三次。因此只有当m有奇数个正约数时，才可能被拉了奇数次。

那么，哪些整数有奇数个正约数呢？不妨先看几个数：1只有一个正约数，就是1本身；2有1、2这两个正约数；3有1、3两个正约数；4有1、2、4三个正约数；…；9有1、3、S三个正约数；16有1、2、4、8、16五个正约数。由此可以得到一个猜想：“只有完全平方数有奇数个正约数。”

下面我们来证明这个猜想是正确的。

我们知道，任一正整数N都可以分解成它的质因数（包括1与N自身）的连乘积。比如

36=2²×3²，1400=2³×5²×7。

一般地，有

$N = P_1^{{\alpha _1}}P_2^{{\alpha _2}} \cdots P_k^{{\alpha _k}}$。

其中正约数的个数为

d=（α₁+1）（α₂+1）…（α_k+1）。

比如，36的正约数的个数为

d=（2+1）·（2+1）=9，

它们是1、2、3、4、6、9、12、18、36。而1400的正约数的个数为

d=（3+1）·（2+1）·（1+1）=24，

它们是1、2、4、5、7、8、10、14、20、25、28、35、40、50、56、70、100、140、175、200、280、350、700、1400。

根据上面的事实，可直接证明上述猜想如下：

若N为完全平方数，则α₁，α₂，…，α_k都是偶数。这样，（1+α₁），（1+α₂），…，（1+α_k）每一个都是奇数，它们的乘积d也必为奇数。反过来，若d是奇数，那么（1+α₁），（1+α₂），…，（1+α_k）每一个必须是奇数，所以α₁，α₂，…，α_k都是偶数，这时是完全平方数。

由此可知，在编号为1，2，…，100的电灯中，只有号码是1，4，9，16，25，36，49，64，81，100这十盛灯最后是亮着的。