如图在abc中abac5 如图，在Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F  

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F

∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，

∠EAD＝∠C AD＝CD ∠ADE＝∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=

AD2+BD2

=

2

BD=

2 2

BC．
故①正确；
设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x．
∵S△AEF=

1 2

AE?AF=

1 2

x（a-x）=-

1 2

（x-

1 2

a）2+

1 8

a2，
∴当x=

1 2

a时，S△AEF有最大值

1 8

a2，
又∵

1 4

S△ABC=

1 4

×

1 2

a2=

1 8

a2，
∴S△AEF≤

1 4

S△ABC．
故②正确；
EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2（x-

1 2

a）2+

1 2

a2，
∴当x=

1 2

a时，EF2取得最小值

1 2

a2，
∴EF≥

2 2

a（等号当且仅当x=

1 2

a时成立），
而AD=

2 2

a，
∴EF≥AD．
故④错误；
由①的证明知△AED≌△CFD，
∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=

1 2

AD2，
∵EF≥AD，
∴AD?EF≥AD2，
∴AD?EF＞S四边形AEDF
故③错误；
当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．
故⑤正确．
综上所述，正确的有：①②⑤．
故答案为：①②⑤．

如图，Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点

∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，

∠EAD＝∠C AD＝CD ∠ADE＝∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，ED=FD．故①②正确；
又∵△ABD≌△ACD，
∴△BDE≌△ADF．故③正确；
∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，ED=FD，
∴BE+CF=BE+AE=AB=

2

BD，
∵EF=

2

ED，BD＞ED，
∴BE+CF＞EF．故④错误；
∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，
∴S四边形AEDF=S△ADC=

1 2

AD2．故⑤错误．
综上所述，正确结论是①②③．
故答案是：①②③．

D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM、DN分别交BC、CA于E、F。试问：当角MDN绕D点旋转过程中

做DP⊥BC，垂足为P，做DQ⊥AC，垂足为Q
∵D为中点，且△ABC为等腰RT△ABC
∴DP=DQ=½BC=½AC
又∵∠FDQ=∠PDE(旋转）∠DQF=∠DPE=90°
∴△DQF≌△DPE
∴S△DQF=S△DPE
又∵S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DPE
∴S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DQF=½BC*½AC=¼AC²（AC=BC=定值）
∴四边形DECF面积不会改变

D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM、DN分别交BC、CA于E、F。 (1)当∠MDN绕点D转动时，求证DE=DF

(1)由题意可知，∠MDN=EDF=90°，连线CD,则有BD=CD=AD,(D是AB的中点，△ABC是等腰直角三角形)所以∠ECD=∠FAD，因为∠ADF+∠FDC=90°，∠CDE+∠FDC=90°，所以∠ADF=∠CDE,所以△CDE≌△ADF(ASA)，所以DE=DF (2)因为AB=2,所以BC=AC=根号二，由(1)可知，BE=CF,CE=AF,四边形的面积等于S△CDE+S△CDF,因为CF=BE,所以S(DECF)=S△CDE+S△BDE=½S△ABC=½×½×√2×√2＝½

(1)∵∠C=∠EDF=90°
∴C、D、E、F四点共圆
∴∠EFD=∠DCE=45°，∠FED=∠DCF=45°
∴∠FED=∠EFD
∴DE=DF
(2)易证四边形DECF的面积为△ABC面积的一半，等于0.5

如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°。AB=AC=3，D为BC边的中点，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D顺时针旋转

（1）、证明：
因为：∠EAF=∠EDF=90°
所以：AEDF四点共元
所以：∠AED=∠CFD
又因为：∠EAD=∠C=45°，AD=CD
所以；△AED≌△CFD
（2）解：
在（1）中已经证明了△AED≌△CFD,
同理可证△AFD≌△BED
所以：S四边形AEDF的面积=S△BDE+S△CDF
所以：S四边形AEDF=(1/2)S△ABC=4.5/2=2.25
连线EF,则：
1、BE<EF
因为：由△BDE≌△ADF的知 BE=AF
而：AF是直角△AEF的直角边，EF是直角△AEF的斜边
所以：EF>AF
即：EF>BE
2、当BE=2时，AE=1
即：AF=2，AE=1
所以：EF=√5

D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM、DN分别交BC、CA于E、F。 (1)当∠MDN绕点D转动时，求证DE=DF （2）

证明：连结CD.
因为 D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，
所以 CD=DB,(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
角ACD=角B=45度，角CDB=90度，（等腰三角形三线合一）
因为 DM垂直于DN, DM,DN分别交BC,CA于E,F,
所以 角EDF=90度，
所以 角CDF=角BDE,
所以 三角形BDE全等于三角形CDF,
所以 DE=DF。

在△ABC中，AB=AC，D为BC边中点，以点D为顶点作∠MDN=∠B．（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，如图

（1）答：与△ADE相似的三角形有△ABD、△ACD、△DCE．
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE；
        
（2）①证明：∵∠BFD=180°-∠B-∠BDF，∠EDC=180°-∠EDF-∠BDF，
又∵∠B=∠EDF，
∴∠BFD=∠EDC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED；                   
②△BDF∽△DEF．                      
证明：∵△BDF∽△CED，
∴

FD DE

＝

BF CD

，
∵BD=CD，
∴

FD DE

＝

BF BD

，
∴

FD BF

＝

DE BD

．
又∵∠EDF=∠B，
∴△BDF∽△DEF．

如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°

因为△ADE绕点E旋转180°得△CFE
所以△ADE全等△CFE
因为AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点
所以角adc为90度
则四边形ADCF一定是矩形

已知在RT△ABC中,AC=BC,∠C=90°,点D为边AB的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC，CB

2）当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，（1）的结论成立
连线CD
CD是中线
CD=AB/2=DB
<DCB=<B=45
<ACD=90-<DCB=45
<EDC+<CDF=90=<CDF+<BDF
<EDC=<BDF
三角形EDC,FDB全等
EC=FB
AC=AE+EC=AE+BF

当△ABC的面积为16时，直接写出四边形CEDF的面积
四边形CEDF的面积=16/2=8