二重积分1dxdy怎么算 二重积分历史

二重积分历史  

1.微积分的历史以及出现的原因

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。

比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”

这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。

牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。

就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。

1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。

现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。

不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。

其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。

他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

2.计算二重积分

1、楼主的这一积分，涉及的是正态分布 = normal distribution， 误差函数 = error function 的主题问题； 2、这一被积函数 = integrand，是从物理学、化学、天文学 的一个共同假设而来，这就是 homogeneous = 各向同性， 把物理思想进行数学分析严格推导所得到的函数； 3、具体积分涉及到将一元函数的一重积分通过极坐标转化为 二重积分，具体过程如下； 4、若看不清楚，请点击放大； 5、若有疑问、质疑，敬请随意追问，有问必答，有疑必释。

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3.格林公式的历史

一，格林公式 一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿，莱布尼兹公式 表明：函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示. 无独有偶，在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示，这便是我们要介绍的格林公式. 1，单连通区域的概念 设为平面区域，如果内任一闭曲线所围的部分区域都属于，则称为平面单连通区域；否则称为复连通区域. 通俗地讲，单连通区域是不含"洞"（包括"点洞"）与"裂缝"的区域. 2，区域的边界曲线的正向规定 设是平面区域的边界曲线，规定的正向为：当观察者沿的这个方向行走时，内位于他附近的那一部分总在他的左边. 简言之：区域的边界曲线之正向应适合条件，人沿曲线走，区域在左手. 3，格林公式 【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有 （1） 其中是的取正向的边界曲线. 公式（1）叫做格林（green）公式. 【证明】先证 假定区域的形状如下（用平行于轴的直线穿过区域，与区域边界曲线的交点至多两点） 易见，图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况，我们仅对图一所表示的区域给予证明即可. 另一方面，据对坐标的曲线积分性质与计算法有 因此 再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点，用类似的方法可证 综合有 当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴（ 轴或轴 ）的任何直线的交点至多是两点时，我们有 ， 同时成立. 将两式合并之后即得格林公式 注：若区域不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立. 格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛. 若取，， ，则格林公式为 故区域的面积为 【例1】求星形线 所围成的图形面积. 解：当从变到时，点依逆时针方向描出了整个封闭曲线，故 【例2】设是任意一条分段光滑的闭曲线，证明 证明：这里 ， 从而 这里是由所围成的区域. 二，平面曲线积分与路径无关的条件 1，对坐标的曲线积分与路径无关的定义 【定义一】设是一个开区域， 函数，在内具有一阶连续偏导数，如果对于内任意两点，以及内从点到点的任意两条曲线，，等式 恒成立，就称曲线积分在内与路径无关；否则，称与路径有关. 定义一还可换成下列等价的说法 若曲线积分与路径无关， 那么 即： 在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零.反过来，如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零，也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关. 【定义二】曲线积分在内与路径无关是指，对于内任意一条闭曲线，恒有 . 2，曲线积分与路径无关的条件 【定理】设开区域是一个单连通域， 函数，在内具有一阶连续偏导数，则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式 在内恒成立. 证明：先证充分性 在内任取一条闭曲线，因单连通，故闭曲线所围成的区域全部在内.从而 在上恒成立. 由格林公式，有 依定义二，在内曲线积分与路径无关. 再证必要性（采用反证法） 假设在内等式不恒成立，那么内至少存在一点，使 不妨设 由于在内连续，在内存在一个以为圆心，半径充分小的圆域，使得在上恒有 由格林公式及二重积分性质有 这里是的正向边界曲线，是的面积. 这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾.故在内等式 应恒成立. 注明：定理所需要的两个条件 缺一不可. 【反例】讨论 ，其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的. 这里 ， 除去原点外，在所围成的区域内存在，连续，且 . 在内，作一半径充分小的圆周 在由与所围成的复连通域内使用格林公式有 三，二元函数的全微分求积 若曲线积分在开区域内与路径无关，那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关.假设曲线的起点为，终点为，可用记号 或 来表示，而不需要明确地写出积分路径. 显然，这一积分形式与定积分非常相似， 事实上，我们有下列重要定理 【定理一】设是一个单连通的开区域，函数，在内具有一阶连续偏导数，且 ，则 是的单值函数，这里为内一固定点，且 亦即 【证明】依条件知，对内任意一条以点为起点，点为终点的曲线，曲线积分 与路径无关，仅与的起点和终点的坐标有关，亦即， 确为点的单值函数. 下面证明 由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分，取如下路径，有 类似地可证明 因此 【定理二】设是单连通的开区域，，在上具有一阶连续偏导数，则在内为某一函数全微分的充要条件是 在内恒成立. 【证明】显然，充分性就是定理一 下面证明必要性 若存在使得 ，则 由于 ，在 内连续， 则二阶混合偏导数适合等式 从而 【定理三】设是一个单连通的开区域， 函数，在内具有一阶连续偏导数， 若存在二元函数使得 则 其中，是内的任意两点. 【证明】由定理1知，函数 适合 于是 或 因此 （是某一常数 ） 即 而 这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线，故 因此 □ 【确定的全微分函数的方法】 因为，而右端的曲线积分与路径无关，为了计算简便，可取平行于坐标。

4.格林公式的历史

一，格林公式 一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿，莱布尼兹公式 表明：函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示. 无独有偶，在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示，这便是我们要介绍的格林公式. 1，单连通区域的概念 设为平面区域，如果内任一闭曲线所围的部分区域都属于，则称为平面单连通区域；否则称为复连通区域. 通俗地讲，单连通区域是不含"洞"（包括"点洞"）与"裂缝"的区域. 2，区域的边界曲线的正向规定 设是平面区域的边界曲线，规定的正向为：当观察者沿的这个方向行走时，内位于他附近的那一部分总在他的左边. 简言之：区域的边界曲线之正向应适合条件，人沿曲线走，区域在左手. 3，格林公式 【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有 （1） 其中是的取正向的边界曲线. 公式（1）叫做格林（green）公式. 【证明】先证 假定区域的形状如下（用平行于轴的直线穿过区域，与区域边界曲线的交点至多两点） 易见，图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况，我们仅对图一所表示的区域给予证明即可. 另一方面，据对坐标的曲线积分性质与计算法有 因此 再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点，用类似的方法可证 综合有 当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴（ 轴或轴 ）的任何直线的交点至多是两点时，我们有 ， 同时成立. 将两式合并之后即得格林公式 注：若区域不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立. 格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛. 若取，， ，则格林公式为 故区域的面积为 【例1】求星形线 所围成的图形面积. 解：当从变到时，点依逆时针方向描出了整个封闭曲线，故 【例2】设是任意一条分段光滑的闭曲线，证明 证明：这里 ， 从而 这里是由所围成的区域. 二，平面曲线积分与路径无关的条件 1，对坐标的曲线积分与路径无关的定义 【定义一】设是一个开区域， 函数，在内具有一阶连续偏导数，如果对于内任意两点，以及内从点到点的任意两条曲线，，等式 恒成立，就称曲线积分在内与路径无关；否则，称与路径有关. 定义一还可换成下列等价的说法 若曲线积分与路径无关， 那么 即： 在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零.反过来，如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零，也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关. 【定义二】曲线积分在内与路径无关是指，对于内任意一条闭曲线，恒有 . 2，曲线积分与路径无关的条件 【定理】设开区域是一个单连通域， 函数，在内具有一阶连续偏导数，则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式 在内恒成立. 证明：先证充分性 在内任取一条闭曲线，因单连通，故闭曲线所围成的区域全部在内.从而 在上恒成立. 由格林公式，有 依定义二，在内曲线积分与路径无关. 再证必要性（采用反证法） 假设在内等式不恒成立，那么内至少存在一点，使 不妨设 由于在内连续，在内存在一个以为圆心，半径充分小的圆域，使得在上恒有 由格林公式及二重积分性质有 这里是的正向边界曲线，是的面积. 这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾.故在内等式 应恒成立. 注明：定理所需要的两个条件 缺一不可. 【反例】讨论 ，其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的. 这里 ， 除去原点外，在所围成的区域内存在，连续，且 . 在内，作一半径充分小的圆周 在由与所围成的复连通域内使用格林公式有 三，二元函数的全微分求积 若曲线积分在开区域内与路径无关，那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关.假设曲线的起点为，终点为，可用记号 或 来表示，而不需要明确地写出积分路径. 显然，这一积分形式与定积分非常相似， 事实上，我们有下列重要定理 【定理一】设是一个单连通的开区域，函数，在内具有一阶连续偏导数，且 ，则 是的单值函数，这里为内一固定点，且 亦即 【证明】依条件知，对内任意一条以点为起点，点为终点的曲线，曲线积分 与路径无关，仅与的起点和终点的坐标有关，亦即， 确为点的单值函数. 下面证明 由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分，取如下路径，有 类似地可证明 因此 【定理二】设是单连通的开区域，，在上具有一阶连续偏导数，则在内为某一函数全微分的充要条件是 在内恒成立. 【证明】显然，充分性就是定理一 下面证明必要性 若存在使得 ，则 由于 ，在 内连续， 则二阶混合偏导数适合等式 从而 【定理三】设是一个单连通的开区域， 函数，在内具有一阶连续偏导数， 若存在二元函数使得 则 其中，是内的任意两点. 【证明】由定理1知，函数 适合 于是 或 因此 （是某一常数 ） 即 而 这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线，故 因此 □ 【确定的全微分函数的方法】 因为，而右端的曲线积分与路径无关，为了计算简便，可取平行于坐标轴的直线。

5.在二重积分中dx^2是不是应该忽略

新年好！春节快乐！Happy New Year !

1、dx² = 2xdx;

2、在二重积分中，不会出现这样的情况，在推导积分公式时，

（△x）² 已经通过取极限而为0了。

3、在目前正在退休的一代老先生、老太太们，以及他们的老师、师爷师奶们

的年代，流行过一些似是而非的观念，譬如 （dx）² 硬拗成 d²x。微积分是

经过科学、工程、、、的方方面面的严格检验的，最最起码符合量纲分析

的。可是我们无视这些，仍然坚持一些不符合量纲分析的怪论。因为这些

说法的出处，都是来自于红顶学者，迄今仍有市场。可以乐观地预期，再

过几十年之后，就应该不会再误导孙子辈们的概念了，代价已经有我们承

担了。

4、楼主的提问，如果再细致一些就更好了。

6.高数二重积分和多重积分,求解法

把二重积分化成两个定积分相乘就可以解了。

还有如果遇到D为X²+Y²这种就可以用极坐标来解决，令x=rcosΘ y=rsinΘ 然后写出r和 Θ的取值范围。再把它们代入被积函数.（对于任何二重积分都适用）对于二重积分怎么化为两个定分，首先画出题目给出的D区域，然后在D区域作一条X轴或Y轴的平行线，（如果先积X就作X的平行线，如果先积Y就作Y的平行线）平行线在D区域中会与某些曲线相交，从0到正无穷的方向（往正半轴的方向看），最先相交的为积分的下界，其次为上届。

（如果先积X，积分的上下界就需要用y来表示，如果先积y，就需要用x来表示）然后这就出来一个积分了是吧，另外一个积分很简单，比如你先积X，然后积Y吧，Y这个积分的上下界就是区域D里面Y的取值范围，被积函数就是第一个积分。

希望你能看懂。

7.一重积分的乘积为什么等于二重积分 详见图

问得好！楼主的问题，反过来解释，就容易理解了：.1、一个二重积分 double integral，是原则性的积分，要化成累次积分 iterated integral 才有可能积分积出来；能否积出来，还得看被积函数的形式，以及积分的顺序是否合适。

.2、当一个累次积分可以积出来时，常会出现对两个独立变量各自独立的积分，产生这样的情况，就是因为因式分解，把一个独立变量完全分解出去后，先对剩余的独立变量积分，积完后再对原先分解出去的变量积分。这在二重积分中，屡见不鲜。

楼主所说的问题就是这个逆过程。