二重积分的基本例题 高等数学下册，请问二重积分这道题怎么做？

高等数学下册，请问二重积分这道题怎么做？  

高等数学下册，请问二重积分这道题怎么做？

可以直接算，如下。
原式=∫〔-1到1〕dx∫〔-1到x〕xe^(xx)*（ye^(yy）dy
因为ye^(yy)的原函数是(1/2)e^(yy)，所以
=∫〔-1到1〕xe^(xx)【(1/2)e^(yy)代限并相减】dx
=∫〔-1到1〕xe^(xx)*(1/2)【e^(xx)-e】dx
=(1/2)∫〔-1到1〕【xe^(2xx)-e*xe^(xx)】dx
=0，是因为奇函数在对称区间上的积分为0。

高等数学下册二重积分

积分区域是下方的三角形
用横线画过去
得到的上下限当然是y/2到1
不是你说的0到y/2
你的那一块没有积分
不在积分范围里

高等数学，二重积分怎么做

D 的面积是 σ = 2， 在 D 上， x+y+1 的最小值是 1， 最大值是 4，
根据重积分的介值定理， 得出该式。

二重积分，高等数学，这一题怎么做

这道题两步：1画图，2算

高等数学 二重积分问题

取极坐标 x = 1+rcost, y = 1+rsint,
则 I = ∫<π/4, 5π/4>dt ∫<0, √2) r(cost-sint) rdr
= (2√2/3)∫<π/4, 5π/4>(cost-sint)dt
= (2√2/3)[sint+cost]<π/4, 5π/4>
= -8/3

高等数学 二重积分

化为极坐标，
I = ∫∫<D>(x^2+y^2)dxdy
= ∫<0, 2π>dt∫<0, 1>r^2 rdr = 2π(1/4) = π/2

积分区域为：0<=x<=1，0<=y<=1-2sqrt{x}+x
积分=int_0^1dxint_0^{1-2sqrt{x}+x}xydy
=int)^1frac{x}{2}(1-sqrt{x}}^4dx
=1/280

轮换对称性，区域关于y=x对称，函数中x与y可以互换，详细见课本二重积分性质

解：分享一种解法，用极坐标变换求解。
由题设条件，有y≤x≤√(1-y²)，0≤y≤√2/2。设x=ρcosθ，y=ρsinθ。 ∴D={(ρ,θ)丨0≤ρ≤1，0≤θ≤π/4}。
∴原式=∫(0,π/4)dθ∫(0,1)arctan(tanθ)ρdρ=(1/2)∫(0,π/4)arctan(tanθ)dθ。
再设t=tanθ，∴原式=(1/4)arctan²t丨(t=0,1)=π²/64。
供参考。

二重积分，高等数学

设ρ=2acosφ
∫(0,2acosθ)ρ²/√(4a²-ρ²)dρ
=∫(π/2,θ)4a²cos²φ/√(4a²-4a²cos²φ)d(2acosφ)
=-∫(π/2,θ)4a²cos²φ/(2asinφ)(2asinφ)dφ
=-4a²∫(π/2,θ)cos²φdφ
=-2a²∫(π/2,θ)(2cos²φ-1+1)dφ
=-2a²∫(π/2,θ)(cos2φ+1)dφ
=-a²sin2φ-2a²φ|(π/2,θ)
=πa²-a²sin2θ-2a²θ
=a²(π-sin2θ-2θ)