智慧之星

智 慧 之 星　　

孙家军　　

五个顶点两头尖，　　

智慧之星照人间。　　

千百年来人不识，　　

造化有缘我发现。　　

发现它不为金钱，　　

发现它不为做官。　　

但愿它星宿永驻，　　

人间从此生慧眼。　　

                                ——题记　　

1　　

有一位智者对我说：讲你所知道的事情，做你所应做的事情，该是什么便是什么。　　

2　　

若干年来，我一直在思考的一个问题，与其说是一个哲学问题，不如说是一个数学问题，究其实是思维方式研究方面的一个问题。为了把这个问题想明白、说清楚，我遇到两个困难。一个是：我要在头脑里把这个问题想明白，我的头脑须装下百科的基本知识，并且在有的科目上还要达到有造诣、能贯通的境界，这对一个天赋有限、精力有限的个人来说，是多么大的一个困难；另一个是：即使我能够在头脑里把这个问题想明白，我还要能够用深入浅出的方法、用简单质朴的语言,把我对这个问题的认识，清晰、准确地表述出来，我确切地知道这是更大的一个困难。问题好比一棵树，头脑里对它的认识是树的一个影子，用语言、符号表达出来的东西成了影子的影子。一棵树、它的影子、影子的影子三者之间存在着既宽且深的鸿沟，须得用知识、用见识、用智慧为三者架设桥梁，唯如此，才有可能使人们对这个问题有所了解、有所认识，进而达到理解和认可。多年来，我对此执着似怨鬼、苦缠如毒蛇；现在我自认为，我能够克服这两个方面的困难，于是，有了这篇文章。　　

3　　

这是一篇有关方法论的文章；这是一篇有关思维方式的文章；这是一篇有关如何进行整体思维的文章。大凡文章,一旦与哲学、数学、思维沾边，难免艰涩枯燥，我不想把我的文章写成那样一副面孔，因此我采用了最能表达我思想的方式行文布局。　　

宗教、哲学、科学，乃至工程技术里面有关方法论的论述论著林林总总、汗牛充栋，通过涉猎、学习和思考，使我有机会站在了一个别人不曾站过的高地上，有条件把方法论的整体收于眼底。我看到尽管知识的海洋来自千流万汇，可是流出真知的思维模式实际上只有那么几眼甘泉。写这篇文章的目的，一言以概之：就是想为方法论开辟一片新天地，为思维科学创造一个新境界。如若要我为这片新天地、新境界冠之以名的话，就叫它《结合论》吧！因此，这篇文章的主要内容是要回答“谁与谁结合、为什么结合、怎么结合、结合之后生成了什么？”这个问题；进而将解决该问题的思维路径生成一个数学模型，这个模型我命名为“智慧之星”，我深信它能照亮人类的心间。　　

下面是我的思维一步一步由浅入深演绎的轨迹。　　

4　　

由“点”到“0”。“点”是元始的一个“形”，一切图形地构造由此起步，没有“点”这个概念，“线”、“面”“体”的概念便无基建立，因此“点”的作用是那样重大而又神圣。如若对“点”这个概念从几何学、构形学、哲学上予以深究的时候，又觉得没有多少实质的内容可言，除了表示位置所在这个视角意义以外，便是一无所有，没有大小、没有长短、没有里外。“点”究竟是个啥玩意？真不好表达。我刚想把“点”说成是空中的一埃微尘，哪知六组慧能早在那里堵着我：菩提本无树，明镜亦非台；本来无一物，何处染尘埃。那么，“点”到底是个什么？如果把“点”定义为长度无限短的一个线段的话，那么面积无限小的平面、体积无限小的立体就不是个“点”吗？如果把“点”定义为面积无限小的一个圆的话，那么面积无限小的三角形、四边形、多边形何尝不是一个“点”？如果把“点”定义为体积无限小的一个球的话，那么体积无限小的四面体、六面体、多面体又何尝不是一个“点”？康托尔（Cantor）的无限集告诉我们，1厘米长的线段上“点”的个数、1公里长的线段上“点”的个数、甚至1公里见方的平面上、1公里见方见高的立方上“点”的个数都是一样多，看看“点”是多么奇怪的一个东西，我实在无法形容。因为实在无物可比，所以，我只能说“点”是个“0”。“0”又是个什么？“0”是一个数，任何数加“0”或减“0”还得那个数，“0”乘以任何数或除以任何数（不含0）都变成0；“0”是正数和负数的分界点，是坐标系的原点，含有指示位置和开始的意味。“0”的这些意味与“点”的意味多么相合，因此我说“点”是个“0”。 “点”这个形与 “0”这个数在现代人看来是多么和谐、多么般配的一对儿，可是为了让这一对儿走到一起，古代人在思维的隧道里跋涉了几百年时间。有一个美丽的传说叫《0的故事》，说的就是“点”和“0”相识、相爱、结合在一起的故事。最早建立点线面概念、发展几何学的古希腊人、埃及人把“点”这个概念运用得无比娴熟，可他们因受观念地束缚就是死活不接受“0”这个数，于是，人类认识的发展史上、人类思维的发展史上、人类记数、计算技术的发展史上一个重大的发现即“0”这个数的发现，便与事实上离“0”最近的古希腊人、埃及人无缘，这一功绩只能让崇尚佛教、崇尚空无观念的古印度人去建立。古印度人的这一重大发现理应受到全人类地尊敬。有意思的是古印度人最初书写“0”这个数时就是画成一个黑点“●”，后经阿拉伯人流布才演变成现在的样子。对写这篇文章来说，我非常感谢“0”这个数，如果没有“0”这个数，我拿什么来表达“点”这个形呢?如果不能从“点”到“0”，我的思维又该从何处立足往前走呢？　　

5　　

从“0”到“1”。要不是前文从“点”到“0”在思维上予以有利地铺垫的话，冷不丁冒出从“0”到“1”这样一个题目，如何下笔成文呢？如若把“0”看成虚无、把“1”看成实有，二者之间隔着多么宽多么深的沟壑，无论如何都难以跨越，尽管哲学上存在从无到有的命题，可它毕竟在这里帮不上什么忙。如果把“0”看成“点”，事情就好办了。“点”是能够移动的，“点”移动时所留的轨迹不就是“线”吗？最简短、最直观、最常用的“线”不就是“一”吗？“一”竖过来就是“1”。古希腊人、巴比伦人、埃及人、罗马人、印度人包括我们中国人，不管所使用的文字是字母文字还是象形文字，在为“1”这个数具之以形的时候却有着惊人的一致，至于他们是否都采用了连点成线的思维方式不得而知。看看，从“0”到“1”多么自然。在这里，让我们记住结论：“1”就是一个线段，就足够了。思维在这里的巧妙之处是化点为线。　　

6　　

从“1”到“2”。有了“1”这个数，似乎从“1”到“2”没有多大问题，1+1不就是2吗？古代人用刀子在骨头上刻下一道线“︱”表示数“1”，刻下两道线“‖”表示数“2”，走的就是这条思维路径。我们在此不能走这条老路，如果继续走这条老路，不仅谈不上创新和超越，更为严重的会误入“自以为四”的歧途。自以为四到了上学年龄，父母送他去念书识字。第一天老师教他识了个“一”字；第二天老师教他识了个“二”字；第三天老师教他识了个“三”字；第四天他不去上学了，他说他知道老师要教==字。既然不走这条老路，那么还有什么办法能够实现从“1”到“2”呢？让我们回头找回那个重要的结论吧，“1”是一个线段。既然是一个线段，事情就好办了。我们知道凡是线段都有两个端点，对了，“2”就是一条线段的两个端点。思维在这里的巧妙之处是化线为点。

7　　

从“2”到“3”。这是关键的一步。在“1”那个线段上找到了两个端点就是“2”，那么,两个端点之间处于线段上的那些个点怎么处理、怎么表达呢？难道它们不重要吗？难道不要它们了吗？完全不是这样。数学知识告诉我们，如果把这个线段看成数轴的话，A、B之间某个点所对应的数值等于该点到起点的距离，所有点的数值就构成了实数集。现在，让我们在线段AB上任意给定一个点C，设C到A的距离为x，推知x=实数集。于是，C这个点的定义就把线段AB上所有的点都包含在其中了，不仅A点、B点、黄金分割点、线段的中点等等无一遗漏。

这是关于C点的精确表示法。　　

有没有更巧妙的关于C点的表达方法呢？答案是有。为了找到这个方法，就要对C点的情况进行分析。首先，C不是非A即B，而是具有把A和B部分地包含在它里面的意图。因为A是起点、B是终点、C是由起点向终点移动的动点，所以对于任意一个C点，对A而言它是此时的终点但对B而言它又是此刻的起点；而且C总有两个数值xa(到A的距离)和xb（到B的距离）与它对应，这是C点的二重性，记作：亦A亦B；如图三。有一个事例，毛主席率领红军长征到陕北，有人问他陕北是什么？他说陕北有两点，一是落脚点二是出发点。毛主席的回答正是这种思维方式的一个巧妙应用；其次，C点还具有既超越A又超越B的意图。因为C点既不是A点也不是B点，而是一个独立的、不同于A和B的点，这是C点的超越性，记作：非A非B；最后，C有的时侯与A亲近、有的时候与B亲近；当C离A近的时候就倾向于A，甚至处于要出发未出发的时候，C点就是A点；当C离B近的时候就倾向于B，甚至终于到达终点的时候，C点就是B点。这是C点的倾向性，记作：时A时B。　　

 现在，让我们把上述关于C点三个方面的分析放在一起，把它们的整体记作一个集合即：C=（亦A亦B 非A非B 时A时B）

  这是关于C点的模糊表示法。

　  有一个数学分支叫模糊集合，是美国控制论专家扎德（Zadeh）创立的。它扩大了集合概念的范围，突破了非此即彼的思维模式，应用范围十分广泛。在这里我们就是应用模糊集合的原理来表达C点含义的。因为我们开始并不知道C点的含义,但是我们明确知道A和B点的含义，于是我们利用A和B预设了一个模糊集合。就这个模糊集合而言，A和B这两个元素既不是明确的属于它，又不是明确的不属于它，而是以一定的隶属度（0%＜隶属度＜100%）与模糊集合发生着关联。经过我们仔细地对C点的含义进行分析，我们看到这个模糊集合与C点的含义完全吻合，于是，就把C定义为这个模糊集合。在此，问题的实质是：A和B这两个元素以模糊集合的逻辑结合起来形成了一个整体，这个整体就是第三个元素C。思维进行到这一步，已接近彼岸，但还有工作必须完成。因为有模糊集合的帮助，使我们对C点的含义已经有十分准确的把握，但是C点还爬在那条线段上移动不定，如此这般，不仅C点的重要地位得不到体现，还容易让我们把C点与那条线段混为一谈。有什么办法能够让C点凸显出来、稳定下来并且与那条线段不相混呢？只有让C点超越那条线段（包括延伸线），于是一个新的“形”诞生了，它就是点数和边数最少的平面图形——三角形。这就是从“　2”　到“　3”　。　

8　　

从“　3”　到“4”。依据上文的逻辑，不难推知，新的问题是：被三角形框在内部的那些个点的集合又该如何表示呢？因为我们的思维如同爬楼梯一样是一步一个台阶上来的，所以现在解决这个问题容易得多。让我们在三角形内任意选择一个点记作D，再对D点的情况进行分析。首先，对任意一点D，总有三个数值与其对应，即xa(D到A的距离)，xb(D到B的距离),xc (D到C的距离),因此我们说D具有三重性，记作：亦A亦B亦C；其次，因为D点既不是A点也不是B点更不是C点，而是一个独立的、不同于A、B和C的点，这是D点的超越性，记作：非A非B非C；最后，D点有时与A亲近、有时与B亲近、有时与C亲近，甚至当xa=0时，D与A重合，当xb=0时，D与B重合，当xc=0时，D与C重合，这是D点的倾向性，记作：时A时B时C。

于是，我们就定义D点为：

D=（亦A亦B亦C 非A非B非C 时A时B时C）

　   当把D点从平面移到空间的时候，于是，一个新的“形”又诞生了，它就是点数、边数和面数最少的立体图形——四面体。这就是从“3”到“4”。　

　    四面体是由4个顶点、6条棱、4个三角形构成的立体图形，是一大类图形的通称，它里面包含着4个特例：一个是正四面体，它的四个面是全等的正三角形；一个是正三棱锥，它的底面是一个正三角形、三个侧面是全等的等腰三角形；一个是等面四面体，围成它的四个三角形全等；还有一个是直角四面体，就是有一个顶点处的三条棱两两垂直，1700多年前，我们的先辈刘徽研究过这种四面体。如果说三角形是平面几何之中最重要的一个图形的话，那么我要说四面体是立体几何里面最重要的一个图形。然而，三角学已发展得十分完备，而四面体的学问还十分有限。是什么原因造成了这种状况呢？主要的是因为四面体与三角形相比点、线、面、角之间的关系要复杂得多。四面体挑战着人类的心智。值得高兴的是，大数学家欧拉（Euler）、希尔伯特(Hilbert）都曾关注过四面体，希尔伯特23个数学问题中第3题就是一个四面体问题。四面体一个又一个精妙之处已被揭示出来，生成许多巧妙的公式。神奇的是造化之巧妙，不少物质比如金刚石比如甲烷比如硅酸盐晶体，它们的分子结构就是四面体。值得指出的是，人们只是在几何、化学和有限元计算中应用四面体，我在这里，是要把四面体应用到思维方式的研究中去、应用到哲学中去。　

9　　

   从“4”到“5”。这一步是这个思维之塔的塔尖，本来是最困难的一步。但是，因为有一层一层升高的塔基铺垫，完成塔尖反倒不显得那么困难。还是那个问题：被四面体的4个三角形框在空间里面的那些个点的集合如何表示呢？

依次类推，不难得出：

　E=（亦A亦B亦C亦D 非A非B非C亦D 时A时B时C时D）　

　   现在，让我们把E点从四面体的内空间穿越三角形ABC移到四面体的外空间上来，于是，几何里面从未出现过的、一个全新的“形”在思维空间中横空出世了。　

这个图形共有5个顶点，9条棱，6个三角形（不含内隐的1个）。我给它命名：正反四面体。这个图形的形象很象夜空中一颗闪亮的星，它就是我发现的智慧之星。