连分数

连分数是一种用特殊形式表示的分数。例如，考虑分数$a$=31/219。用辗转相除法可得如下分式： $$\frac{219}{31}=7+\frac{2}{31}，\frac{31}{2}=15+\frac{1}{2}.$$ 把这两个分式合并可以得到一个连分数形式 $$a=\frac{31}{219}=\frac{1}{7+\frac{2}{31}}=\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{2}}}.$$ 为了节省篇幅，我们把上述连分数缩写成 $$a=\frac{31}{219}=\frac{1}{7}_+\frac{1}{15}_+\frac{1}{2}.$$ 这里我们把加号写在下面而不是中间，表示加号后面的分数是加在分母上的。

连分数的好处是：对于一个复杂的分数$a$，可以通过其连分数的各个截断值，快速地求出用较简单分数表示的$a$的满意的近似值。 例如，$a$=31/219≈0.141 55的逐个近似值为 $$a_1=\frac{1}{7}\thickapprox0.14286；a_2=\frac{1}{7}_+\frac{1}{15}=\frac{15}{106}\thickapprox0.14151.$$ 发现有关系式 $$a_2 < a < a_1。$$

无理数也有连分数表示法，只不过像小数表示一样，是一个无穷连分数。连分数的研究内容丰富，并有广泛的实际应用。