能使这三个村庄修筑的道路互不交叉吗

某地有三个村庄——曹村、王村和秦村，它们的地理位置如图1所示。现在，这三个村庄各想修筑三条道路：一条到汽车站，另一条到镇上电影院，第三条到乡里卫生院，并且要求各条道路都互不交叉。这事能办得到吗？

图1

让我们来试试看。假如先把曹村和王村到电影院、卫生院的道路建好，那么这四条路在平面上正好围成一条封闭曲线。这时，秦村的位置有两种可能情况：它在封闭曲线围成的区域里面，或者位于这个区域的外面，如图2（a）、（b）所示。

图2

（1）如果秦村位于封闭曲线围成的区域里面。这时再画出秦村到电影院、卫生院的路线，原有的封闭曲线所围区域将一分为二，如图3所示。

图3

再看看汽车站的位置在哪里？从道理上说来，它既可能在这两个小区域的外面，也有可能在这两个小区域的其中之一内，如图3（a）、（b）、（c）所示。

在图3（a）中，要修筑秦村到汽车站的道路，必然与其他道路发生交叉。在图3（b）中，要修筑曹村到汽车站的道路，必然与其他道路发生交叉。在图3（c）中，要修筑王村到汽车站的道路，必然与其他道路发生交叉。

由此我们可以得出一个结论：当秦村位于曹村、王村至卫生院、电影院的道路所围成的区域内部时，要使三个村庄修筑的道路不交叉是不可能的。

（2）如果秦村位于封闭曲线围成的区域外面。此时，等到秦村至卫生院、电影院的道路建成以后，也有两种可能情况，如图4（a）、（b）所示。

图4

因为前面我们已经证明：如果秦村位于曹、王两村至卫生院、电影院的道路所围区域的里面，要使三个村庄修筑的道路不交叉是不可能的。又因为在我们讨论的问题中，三个村庄的地位是平等的。因此，我们可以断言：当王村位于曹、秦两村至卫生院、电影院的道路所围区域内部时，要使三个村庄修筑的道路不交叉是不可能的。如果你不相信，只要在前面的论证中，将“秦”字换成“王”字，将“王”字换成“秦”字，即将“秦”、“王”两字互换，再配上几个合适的图就行了。

同样道理，如果曹村位于王、秦两村至卫生院、电影院的道路所围区域的内部，要使三个村庄修筑的道路不交叉也是不可能的。

于是我们可以得出最后的结论：问题中的这三个村庄要想修筑到汽车站、卫生院、电影院的道路，而使所有筑成的道路都不发生交叉是不可能的。

现实生活中也许不会出现上面那样的情况，我们在这里只不过是借此建立一个数学模型。这个数学模型在实际应用中是很重要的。比如，在印刷电路板设计过程中，经常要考虑布线问题。在上面这个问题中，如果将三个村庄、电影院、卫生院、汽车站改为是6个电器元件，其中的9条道路则为相应元件之间的连线，那么我们就立即可以知道：要想把整个线路都布在同一块单面印刷电路板上，而不发生短路是不可能的。

图5

据传说，在阿拉伯，从前有一位王公，给他的臣下出了一道题目，要他们把图5中数目相同的字，用一条条线连起来，但是却不许这些线相交。大臣们为了这问题天天苦苦地思索着，但是谁也想不出一个办法来。这个问题你会解吗？此题是无解的。你不妨试试用前面介绍的方法，证明这个结论。