什么叫做“韩信点兵”V5

韩信点兵是一个很有趣的猜数游戏，如果你随便拿一把棋子（数目约在100粒左右），先3粒3粒数，不满3粒时记下余数；再5粒5粒数，不满5粒时记下余数；最后7粒7粒数，也只把余数记下来。然后根据每次的余数，就可以知道你原来拿的棋子总共有多少。

例如，3个一数余1粒，5个一数余2粒，7个一数余2粒，那么原有棋子是多少呢？

它的算法其实很简单，而且在我国古代就有。宋朝周密叫它“鬼谷算”或“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而“韩信点兵”是比较通行的名称。至于它的算法，在《孙子算经》上早有说明，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。这就是国际上所称的“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题。

那么到底怎样来计算呢？它可以简单地由下式来表达：

a×70+b×21+c×15-105，

其中a、b、c分别为3个、5个、7个一数的余数。如果得出的数字还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止。

因此你可以很容易地知道，前面问题的答案是

1×70+2×21+2×15-105=37（粒）。

那么在“韩信点兵”里为什么要3个一数，5个一数，7个一数呢？用其它的数可以吗？要回答这个问题，我们先来研究一下“韩信点兵”问题的解法“70a+21b+15c-105”。

我们先来看一下70、21、15、105这4个数和3、5、7之间的关系：

（1）70=2×5×7，70=3×23+1，所以70是5和7的一个公倍数，它被3除后余数是1。

（2）同理，21是3与7的一个公倍数，它被5除后余数是1。

（3）15是3与5的一个公倍数，它被7除后余数是1。

（4）105=3×5×7，是3、5、7的最小公倍数。

根据上面的这些关系，“70a+21b+15c-105”确实是所求的得数。理由如下，因为

70a+21b+15c-105

=(3×23+1）×1+（3×7×2）+（3×5×2）-（3×5×7）

=3×23×1+1×1+3×7×2+3×5×2-3×5×7

=3×（23×1+7×2+5×2-5×7）+1，

所以，70a+21b+15c-105被3除的余数是1。根据同样的道理，这个数被5除后的余数是2，被7除后的余数是2。

那么“韩信点兵”里为什么要用3、5、7这三个数呢？我们知道，3、5、7中的任意两个数的最大公约数都是1，也就是说是两两互素的。于是就可以找到这样一个数，是3、5、7其中两个数的公倍数，而被另一个数除后余数是1，类似70、21、15。这也是对于“韩信点兵”中的三个数的要求。

那么不是两两互素的数，是不是就一定找不到类似70、21、15的数呢？例如4、6、7这三个数，4与6不是互素的，它们的最大公约数是2。而6与7的任何一个公倍数都是偶数，被偶数4除后的余数也一定是偶数，而不可能是1，所以是找不到与70、21、15相当的三个数的。因此在“韩信点兵”里就不能用。

我们也可以不用3、5、7这三个数，而换成其它两两互素的数，如2、3、11。这时的计算式是“33a+22b+12c-66”。不信的话，你可以用上文中的例子再试一下，看看结果是不是还是37粒。

关键词：韩信点兵 孙子剩余定理 中国剩余定理 两两互素 最小公倍数 公倍数