素数的个数是有限的吗V5

在自然数中，2、3、5、7、…这些数，它们只能被1和自身整除，这种数叫做素数。4、6、8、9、…这些数，它们除了能被1和自身整除以外，还能被其他的数整除，这种数叫做合数。1既不是素数，又不是合数。

在自然数列中，究竟哪些是素数呢？公元前300多年，希腊学者埃拉托斯特尼提出了一种方法，他在一张纸上写上自然数列的数字，把它贴在一个框子上，然后把其中的合数一个一个地挖去，得到一个有许多小孔的像筛子一样的东西，所有的合数都好像被筛子筛去了一样，而把素数留了下来，得到了一张表，这张表叫做“埃拉托斯特尼筛子”。

埃拉托斯特尼是怎样“筛”的呢？例如，他造一张1到50的素数表，首先写上1到50这50个自然数，然后先划去1，把2留下。再划去其他所有2的倍数，把3留下。再划去其他所有3的倍数，把5留下。又划去其他所有5的倍数……依此类推，可以得到50以内的所有素数。这就是著名的“筛法”。

我们也可以按这个方法，在纸上写出自然数1～100，把素数“筛”出来。

按照埃拉托斯特尼的筛法，会不会划到最后都是合数呢？也就是素数的个数到底是不是有限的呢？公元前约275年，希腊著名的数学家欧几里得用巧妙的方法证明了素数的个数是无限的。

欧几里得是运用反证法来证明的。他首先假定素数的个数是有限的，并列出所有的素数2、3、5、7、…、p，其中最大的是p，然后构成一个数2·3·5·7·…·p+1，显然它大于；其中2·3·5·7·…·p能被任何素数整除，而数1被任何素数除所得的余数为1。因此，2·3·5·7·…·p+1被任何素数除所得的余数为1，即它不能被2、3、5、7、…、p中任何一个整除，也就是它要被大于的素数整除，这就与假定相矛盾。因此，素数的个数是无限的。

这是数论中的一个重要定理。数论是数学的一个重要分支，它主要研究数的性质，其中有着许多奇妙的猜想和有趣的问题，有些至今还未得到最后解决。例如哥德巴赫猜想就是著名的一个。

关键词：素数 数论 欧几里得 埃拉托斯特尼