循环小数是否可以直接相加V5

我们来看一个循环小数相加的题目：求$0.\dot 14285\dot 7 + 0.\dot 28571\dot 4$，这两个循环小数可以先分别化为分数$\frac{1}{7}$和$\frac{2}{7}$，显然它们的和是$\frac{3}{7}$，化为循环小数就是$0.\dot 42857\dot 1$。那么，循环小数可不可以不化为分数，而直接相加呢？下面我们分几种情况来讨论。

一、循环节相同的纯循环小数相加。上面的例子正是这种情况，而结果$0.\dot 42857\dot 1$也可以通过两个循环小数的各位数字直接相加得到。

所以，一般地，对于这样的循环节相同的两个纯循环小数相加，我们都可以将小数点位置对齐后，模仿有限小数竖式加法进行。

二、循环节位数不一致的纯循环小数相加。比如$0.\dot 4\dot 3 + 0.\dot 12\dot 3$首先，可以把$0.\dot 4\dot 3$化为$0.\dot 43434\dot 3$，把$0.\dot 12\dot 3$化为$0.\dot 12312\dot 3$，这叫做“循环节的扩充”。通过循环节的扩充，这两个循环小数的循环节位数就相同了，也就可以直接相加了。

$0.\dot 4\dot 3 + 0.\dot 12\dot 3 = 0.\dot 43434\dot 3 + 0.\dot 12312\dot 3 = 0.\dot 55746\dot 6$。

三、混循环小数相加。例如，$0.3\dot 4\dot 5 + 0.1\dot 2\dot 3$。由于把小数点对齐后，这两个循环小数的不循环部分和循环节正好对齐，于是，可以模仿有限小数的竖式加法直接相加，结果为$0.4\dot 6\dot 8$。

如果不循环部分及循环节没有对齐，该怎么办呢？例如$0.3\dot 4\dot 5 + 0.\dot 1\dot 3$。首先，可以把$0.\dot 1\dot 3$化为$0.1\dot 3\dot 1$，这叫做“循环节的重整”。通过重整，可以解决混循环小数直接相加的问题。

$0.3\dot 4\dot 5 + 0.\dot 1\dot 3 = 0.3\dot 4\dot 5 + 0.1\dot 3\dot 1 = 0.4\dot 7\dot 6$

有时，我们既要使用重整，也要使用扩充，才能达到直接相加的目的。例如：

$0.3\dot 5\dot 4 + 0.41\dot 28\dot 3 = 0.35\dot 4\dot 5 + 0.41\dot 28\dot 3 = 0.35\dot 45454\dot 5 + 0.41\dot 28328\dot 3 = 0.76\dot 73782\dot 8$

在做加法时，我们经常会碰到进位的问题，那么，循环节的首位相加需要进位怎么办呢？例如，$0.\dot 7\dot 2 + 0.\dot 4\dot 3$。得出的结果是不是$1.\dot 1\dot 5$呢？

由于$0.\dot 7\dot 2 + 0.\dot 4\dot 3 = \frac{{72}}{{99}} + \frac{{43}}{{99}} = \frac{{115}}{{99}} = 1\frac{{16}}{{99}} = 1.\dot 1\dot 6$，

所以，遇到循环节首位相加需要进位时，循环节的末位也要进位。这个进位数可以看做是后一循环节向前一循环节进位得到的。

循环小数也可以直接相减，有兴趣的同学可以以上面的各种情况为例，自己探讨。

关键词：循环小数 循环节