什么是“等幂和问题”

我们不妨先看下面两组自然数，每组各6个，它们的和彼此相等：

1+6+7+17+18+23=2+3+11+13+21+22。

看了上述式子，你大概会说，这有什么希奇，这种数要多少就有多少！但是，且慢，请继续往下看：

1²+6²+7²+17²+18²+23²=2²+3²+11²+13²+21²+22²。

这时你可能已经感到有几分意外了。不过，事情并未就此结束，它还在继续向前发展，请看：

1³+6³+7³+17³+18³+23³=2³+3³+11³+13³+21³+22³。

请再看：

1⁴+6⁴+7⁴+17⁴+18⁴+23⁴=2⁴+3⁴+11⁴+13⁴+21⁴+22⁴；

1⁵+6⁵+7⁵+17⁵+18⁵+23⁵=2⁵+3⁵+11⁵+13⁵+21⁵+22⁵。

但是，它并不是没有止境的。再上去，六次方、七次方，等式就不成立了。

这两组数看上去真是匪夷所思，奇妙之极。那么，它们是根据什么道理写出的呢？除此之外，还有没有别的自然数，也具有这样的性质？

前苏联著名数学家盖尔芳德回答了这个问题。

原来，这些数字来源于下列恒等式：

aⁿ+(a+4b+c)ⁿ+(a+b+2c)ⁿ+(a+9b+4c)ⁿ+(a+6b+5c)ⁿ+(a+l0b+6c)ⁿ

=(a+b)ⁿ+(a+c)ⁿ+{a+6b+2c)ⁿ+(a+4b+4c)ⁿ+(a+10b+5c)ⁿ+(a+9b+6c)ⁿ。

其中，n=1，2，3，4，5。上例所举的数字，只是式中a=1，b=1，c=2的情形。如果a、b、c取其他自然数，那就可得出另外有类似性质的数组了。我们原以为这样的数组大概是“凤毛麟角”，不可多得的。现在看来，它们其实也是多如牛毛，不足为奇。

这类问题，在数学上叫做“k次乘方幂的等和问题”，简称“等幂和问题”。已故的华罗庚先生曾经研究过它，并取得了许多成果。现在已经可以举出若干个等式，使高达八次、十次的方幂都可成立。但是，问题并未最终解决，极高乘幂的等式迄今仍未得到。k有没有一个上限，超过了这个限度，等式就不可能再成立？凡此种种，都仍然是未解之谜。

关键词：等幂和问题