什么是四元数

复数a+bi可以看作有序实数对（a，b），它对应于平面直角坐标系下的一个点。在这一思想的启发下，爱尔兰数学家哈密顿试图构造一种新数，它包含三个分量（a，b，c）。经过多年的尝试，哈密顿发现他要寻找的新数只有三个分量是行不通的，必须有四个分量。这就是四元数。

简单地说，四元数是一种形如a+bi+cj+dk的数，这里a，b，c，d是实，l，i，j，k是单位元，且i，j，k是满足i²=j²=k²=-1的虚数，同时，i，j，k相乘时必须满足以下规则：ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j。四元数的加法与乘法也有系统的定义。

复数a+bi，当b=0时即为实数a，也就是，实数可以看作一种特殊的复数；同样，四元数a+bi+cj+dk当c=d=0时即为复数a+bi，于是复数也可以嵌入到四元数中。由实数、复数到四元数，数系得以扩充。那么，实数、复数的运算性质在四元数中有没有变化呢？

实际上从四元数的定义可以看出，单位元i，j，k相乘不满足乘法交换律，即ij≠ji，jk≠kj，ki≠ik，因此四元数的乘法也不满足交换律。这是四元数与以往的数的最本质区别。

四元数的创立拓展了数的概念，深化了对运算法则的认识，对向量代数与向量分析领域有一定影响。它使数学家意识到可以创造出有意义的新数作为数学研究对象，这种新数不一定具有通常数所具备的全部性质。

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