解方程都能用公式吗V5

许多人喜欢用公式解方程，因为它的过程规范，不必多费脑筋。例如，解二次方程ax²+bx+c=0（其中a≠0），只要应用公式

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

就可以很轻松地把两个根求出来。因此，在很长很长一段历史时期里，寻求各次方程的求根公式，成了代数学的一个中心问题。

1535年，意大利数学家首先发现三次方程的求根公式。他们的思路是先把三次方程变形为一个二次方程，然后通过二次方程来求出结果。这个思想方法，后来在意大利数学家费尔拉里寻求四次方程求根公式时，再次被证明是有效的。

既然二次、三次、四次方程都可以用公式求解，那么五次、六次甚至更高次的方程，不也该有各自的求根公式吗？17世纪以后的数学家正是从这个认识出发，开始寻求五次以上方程的求根公式。

但奇怪的是，16世纪时，年仅20岁的费尔拉里，没花多少时间就找出了四次方程的求根公式，而在16～17两个世纪里，有那么多著名的数学家，研究一个次数仅高出一次的方程——五次方程，竟硬是找不出求根公式。

五次和五次以上的方程究竟能不能用公式求解呢？问题就这样被提出来了。1824年，22岁的挪威数学家阿贝耳经过近4年的努力，终于成功地证明:一般五次方程不存在由系数之间的加减乘除乘方开方运算所建立起来的求根公式。从此，寻找求根公式的进程也就结束了。

但是，有关方程的理论并没有就此停止，因为阿贝耳的结论并不是说所有的五次及五次以上的方程都不存在公式解法。事实上，像x⁵=N这种简单形式的五次方程还是可以直接由开方运算所建立的求根公式来解决的。于是问题又进了一步。数学家们提出，什么样的方程可用由系数之间的加减乘除乘方开方运算所建立的求根公式来解呢？这一问题显然比前面的问题更深刻了。

1831年春，又一位年仅20岁的法国数学家伽罗瓦以极其彻底而又明快的形式回答了这个问题。他得出结论：“一个方程在一个含有它的系数的数域中的群若是可解群，则此方程是可以用它的系数的代数式即公式解的，而且仅仅在这个条件下方程才能用公式解。”这就是数学上通常说的“伽罗瓦判别法”。应用“伽罗瓦判别法”可以轻松地证明阿贝耳的结论。“伽罗瓦判别法”所提出的“群”的概念，极大地推进了现代数学的发展，群的理论不仅是现代数学的标志，而且已成为现代数学处理问题的基本方法。

关键词：伽罗瓦判别法 群