解方程都能用公式吗

不少人喜欢用公式解方程，因为它的过程规范，免得多费脑筋。例如，解二次方程ax²+bx+c=0（其中a≠0），只要应用公式

${x_{1，2}}{\text{ = }}\frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

就可以很轻松地把两个根求出来。不仅如此，即使不解方程，根据公式中的判别式b²-4ac大于零，等于零，或者小于零，也能判别出方程的两个实数根是不同的，还是相同的，或者根本就不存在。因此，在很长很长一段历史时期里，寻求各次方程的求根公式，成了代数学的一个中心问题。

1535年，意大利数学家首先发现三次方程的求根公式。他们的思路是先把三次方程变形成一个二次方程，然后通过二次方程来求出结果。这个思想方法，后来在意大利数学家费尔拉里（1522—1565）寻求四次方程求根公式时，再次被证明是有效的。

既然二次、三次、四次方程都可以用公式求解，那么五次、六次甚至更高次的方程，不也该有各自的求根公式吗？17世纪以后的数学家正是从这个认识出发，开始寻求五次以上方程的求根公式。

但奇怪的是，16世纪时一个年仅20岁的年轻人——费尔拉里，没花多少时间就找出了四次方程的求根公式，而在16、17两个世纪里，有那么多著名的数学家的研究，一个次数仅高出一次的方程——五次方程，竟硬是找不出求根公式。

五次和五次以上的方程究竟能不能用公式求解？问题就这样被提出来了。这个问题的确很难解决，因为问题的结论不是说说就完了，而是要经过严格证明的。1824年，22岁的挪威数学家阿贝耳（1802—1829）经过近4年的努力，终于成功地证明了：一般五次方程不存在由系数之间的加减乘除乘方开方运算所建立起来的求根公式。从此，寻找求根公式的进程也就结束了。

但是，有关方程的理论并不这样就完了，因为阿贝耳的结论并不排斥所有的五次及五次以上的方程都不存在公式解法。事实上，x⁵=N这种简单型式的五次方程还是可以直接由开方运算所建立的求根公式来解决的。于是问题又进了一步。数学家们提出，什么样方程可用由系数之间的加减乘除乘方开方运算所建立的求根公式来解呢？这一问题显然比前面的问题更深刻了。

1831年春，又一位年仅20岁的法国数学家伽罗瓦（1811—1832）以极其彻底而又明快的形式回答了这个问题。他得出：“一个方程在一个含有它的系数的数域中的群若是可解群，则此方程是可以用它的系数的代数式即公式解的，而且仅仅在这个条件下方程才能用公式解。”这就是数学史通常说的“伽罗瓦鉴定”。应用“伽罗瓦鉴定”可以很轻松地证明阿贝耳的结论。

这里由于出现了诸如“数域”、“群”、“可解群”等名词，少年读者可能会感到难以理解。这并不要紧，因为我们的目的是想告诉读者：1.对于一般形式的五次和五次以上的方程，不存在公式解法。2.围绕方程的公式可解性问题，数学家们曾经历了长期而艰苦的努力，而推进这个问题解决的都是些20岁左右的年轻数学家。他们敢想敢做，终于获得了重大的成就。3.数学成就常常不是孤立的，伽罗瓦的杰出之处不仅在于他提出了“伽罗瓦鉴定”，而且提出了“群”的概念。这个概念极大地推进了现代数学的发展，群的理论不仅是现代代数学的标志，而且已成为用现代数学处理问题的基本方法。