影片《巴格达窃贼》中水晶球的大小是怎样算出的

英国故事片《巴格达窃贼》曾在我国各地放映过，吸引了很多观众。影片中有这样一个情节：

天王为了考验阿菩的智慧，要他把庙里一只直径为20凯布尔（印度古代的一种长度单位）的实心水晶球，改制成三只实心水晶球，每只球的直径用凯布尔度量时，正好都是整数，并且它们的直径之和恰恰等于38凯布尔。当然，在改制时，材料是不准有任何损耗的。改制完成后，天王打算把这三只水晶球分送给文殊、普贤和弥勒三位大菩萨。

阿菩动了脑筋后，竟然把这三只水晶球改制成功了。天王大喜，就派天兵天将相助，诛杀了奸相伽法。国王复位后，任命阿菩为宰相。

少年朋友们，你们知道这样的三只水晶球的直径各是多少吗？

让我们根据题目意思来分析。因为38这个数字不能被3整除，所以这三只水晶球不可能一样大小。不妨假设大、中、小球的直径分别为x、y和38-x-y。由初等数学的知识可知，球的体积公式是$\frac{1}{6}\pi {D^3}$。由于把直径为20凯布尔的水晶球改造为3只小水晶球时，等式的左、右两端都同时出现常数因子$\frac{1}{6}\pi $，因此我们可以把它约掉。这样，在下面的分析研究中，就可以不必去考虑这个讨厌的无理数π了。

由题意可得：

x³+y³+[38-（x+y）]³=20³=8000，（1）

把这个式子展开，并加以整理，即得：

（x+y）[xy+1444-38（x+y）]=15624。（2）

再将15624写成质因数分解式：

15624=23×32×7×31。（3）

在把38这个数分成三份时，这三个数字最靠拢的方式是13，12。由此可知，x+y≥26。另外，根据题意，x+y必定小于38。

从表达式（2）可以明显地看出，x+y必定是15624的因子，而x+y又必须在26和38之间，所以，x+y只有三种可能性，即

x+y=2×2×3×3=36；

x+y=2×2×7=28；

x+y=31。

如果x+y=36，则由表达式（2）可以算出xy=358，但此时这个方程组没有实数解；

如果x+y=28，则xy=178，此时方程组没有整数解；

仅当x+y=31时，可得xy=238，此时可以解出x=17，y=14，于是38-x-y=7。

所以，这三只水晶球的直径分别是17，14与7凯布尔。