用硬币凑成1角钱的方法有多少种

这个问题似乎很简单，死算就是了：

（1）全用1分硬币。共1种。

（2）用1分和2分硬币。由于其中的2分硬币可以有一只、二只、三只、四只和五只，因此共有5种。

（3）用一只5分的，另外的5分有3种凑法：五只1分；一只2分、三只1分；两只2分、一只1分。

（4）用两只5分，也只有1种。

以上总数是1+5+3+1=10（种）。

那么有没有一般的办法？有。你只要把下面公式中x¹⁰的系数A₁₀算出来就行：

（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷+x⁸⁺x⁹+x¹⁰）·（1x²+x⁴+x⁶+x⁸⁺+x¹⁰）·（1+x⁵+x¹⁰）

=1+A₁x+A₂x+…+A₁₀x¹⁰+…+x³⁰。

A₁₀是多少呢？

（1）前两因子乘积中的x¹⁰和第三项中的1相乘是x¹⁰。而前两因子乘积中有x¹⁰与1，x²和x⁸，x⁴和x⁶各两次相乘得x¹⁰，共6个x¹⁰。

（2）前两项因子中乘积为x⁵与第三项因子中的相乘也可得x¹⁰。因为第二项因子中x只有偶数次幂，所以只有x⁵和1，x³和x²，x¹和x⁴三种类型，即可得3个x¹⁰。

（3）最后还剩前两项因子中的两个1相乘，再和第三项中的x¹⁰相乘，得1个x¹⁰。

综上所述，A₁₀=6+3+1=10，结果和我们死算的一样。这种方法称为“母函数法”。它是大数学家欧拉在研究整数分拆时提出的一种重要方法。

如果要问：用1分，2分，5分，1角，2角，5角的钱币凑满1元（100分），该有多少种凑法？再靠死算就太难了，但仍可以用母函数法，这时的公式左端为：

（1+x+x²+x³+…+x¹⁰⁰）

·（1+x²+x⁴+…+x¹⁰⁰）

·（1+x⁵+x¹⁰+…+x¹⁰⁰）

·（1+x¹⁰+x²⁰+…+x¹⁰⁰）

·（1+x²⁰+x⁴⁰+…+x¹⁰⁰）

·（1+x⁵⁰+…+x¹⁰⁰）。

我们只要将它的展开式中x¹⁰⁰的系数A₁₀₀求出来就行了。这种机械的操作，交给计算机做是很容易完成的。（张奠宙）